Ayarlar yalnızca bu cihazda saklanır. Hedef dakika değil soru sayısıdır: kitap açık kalan süreyi değil, çözdüğün soruyu sayar.
KOLAYHOCA.COM · 10. SINIF FİZİK · MAARİF MODELİ
KOLAY HOCA
FİZİK 10
Kolay Hoca, zor dersleri çizgi roman gibi anlatır. Bu kitapta 10. sınıf fiziğinin her konusunu Ece ile robot arkadaşı Volt anlatıyor: kısa sahneler, hareket eden çizimler ve oynayıp deneyebileceğin küçük düzenekler. Konu kafaya yerleşince hemen soruya geçiyorsun.
Kolay Hoca'nın beşinci kitabı.
ECE Soru sormayı sever, ezberden nefret eder. Senin yerine "bu ne demek şimdi?" diye soran o.
VOLT Kolay Hoca'nın laboratuvar robotu. Bu sefer fizik laboratuvarında: hareket pisti, rampa, devre tezgâhı ve dalga leğeniyle ölçer, grafiğini çizer, öyle anlatır.
Nasıl çalışılır? (3 dakika, bir kez oku)
Telefonu başka odaya koy ya da kitabı telefondan okuyorsan "Rahatsız Etme"yi aç. Telefon masada dururken, kapalı bile olsa, çalışma belleği düşüyor; bu ölçülmüş bir şey, laf değil.
Her bölümde önce tahmin et. Tahminin tutmazsa üzülme: en çok, tutmayan tahminden sonra okunan açıklama akılda kalıyor.
Okumak öğrenmek değildir. "Kendine sor" kutularının cevabını açmadan önce kendin söyle. Testte boş bırakmak serbest; kopya çekmek değil.
Testin ilk 8 sorusu sırayla, kalanı karışık. Sınav da karışık sorar; karışık çözen öğrenci bir ay sonra çok daha fazla hatırlıyor. Testi iki türlü çözebilirsin: Sınav modu (hepsini çöz, sonunda puanını gör) ya da Alıştırma modu (her soruda hemen geri bildirim; yanlış yaparsan ipucu kendiliğinden açılır).
Hesap sorularını defterde çöz. Ekranda göz gezdirmek yetmez; kâğıda yazdığın adım ve çizdiğin grafik akılda kalır. Her ünitenin "Yazdırılabilir özet" sayfasını çıktı alıp yanında tutabilirsin.
Yanlışların bir deftere düşer. 3 gün sonra kitap sana hatırlatır; o gün yanlışlarına dönüp testi bir daha çözersen konu kalıcı olur. Gece 23'ten sonra yeni konu açma; uykusuz beyin gündüz öğrendiğini kaydedemez.
25 dakika çalış, 5 dakika ara. Bir oturumda bir bölüm yeter. Her gün az, her gün.
Her ünitede 5 adım var, sırayla git
1 · ÇİZGİ ROMANSahneleri oku, çizimler hareket ederken izle. "Kafaya yaz" kutusu o sahnenin tek cümlelik özeti.
2 · 8 SORUHangi formül hangi soruda kullanılır, önce onu gör. Sonra 8 soruyu adım adım çözülmüş olarak incele.
4 · ÇÖZÜMLER30 sorunun hepsi ayrı sayfada, anlatımıyla. Yanlış yaptıklarına mutlaka bak.
5 · KARIŞIK TEKRARÜnite başında çözdüğün 5 soruluk ön testin yeni hâli ve önceki ünitelerle karışık alıştırma. Ne kadar ilerlediğini burada görürsün.
Veli için bir sayfa · çocuğunuza nasıl destek olursunuz (2 dakika)
Bu kitap çocuğunuzun kendi başına çalışabilmesi için yazıldı. Araştırmalar, ailenin ilgisinin başarıyı artırdığını, baskısının ise azalttığını tutarlı biçimde gösteriyor. Yapabileceğiniz en etkili şeyler çoğunlukla küçük şeyler.
Ne yapmayın
Puanı sormayın, kıyaslamayın. "Kaç yaptın?", "Kuzenin kaç yapmış?" soruları kaygıyı artırır; kaygılı öğrenci daha az çalışır.
Yanlışı ayıplamayın. Bu kitapta yanlış bir veri; hangi adımda ayrıldığını gösterir. "Bunu nasıl bilmezsin" cümlesi öğrenmeyi keser.
Süre saymayın. "Üç saat çalıştın mı?" yerine ne çözdüğü önemli. Kitap da dakika değil soru sayar.
Ne yapın
Sessiz bir saat ayarlayın. Telefonun çalışılan odada olmaması, açık olmasa bile, dikkati ölçülebilir biçimde artırır.
Uykuyu koruyun. Gece 23'ten sonra yeni konu verimsizdir; uyku, gündüz öğrenileni kalıcı yapan süreçtir.
Haftada bir 10 dakika "süreç" sohbeti. "Bu hafta neyi anladın, nerede takıldın?" diye sorun ve dinleyin. Çözüm önermek zorunda değilsiniz.
Takıldığı konuyu öğretmenine sordurun. "Öğretmenden yardım alabiliyorum" diyen öğrenciler uluslararası ölçmelerde belirgin biçimde daha başarılı.
Sorularda gereken her sayı sorunun içinde verilir; aksi yazmadıkça g = 10 m/s² (yer çekimi ivmesi) alınır ve kullanıldığı yerde adıyla yazılır. Deney verileri ve grafikler kurgusal modeldir ve öyle etiketlenir. Kitaptaki elektrik etkinlikleri yalnızca kalem pille yapılır; prize ya da şebeke kablosuna hiçbir deney yapılmaz. Konular MEB'in 2026 Ortaöğretim Fizik Dersi Öğretim Programı'nın 10. sınıf öğrenme çıktılarına göre sıralandı; programın dört ünitesi bu kitapta altı üniteye ayrıldı (Elektrik ve Dalgalar ikişer ünite).
1. ÜNİTE · KUVVET VE HAREKET
Kuvvet ve Hareket
Hareketin hikâyesi üç grafikte yazılıdır: birinin eğimi ötekinin değeri, birinin alanı ötekinin değişimidir.
Bir arabanın nerede olduğunu, ne kadar hızlı gittiğini ve hızının nasıl değiştiğini üç grafik anlatır. Bu ünitede konumu, yer değiştirmeyi, hızı ve ivmeyi ölçümle tanıyacak; konum-zaman, hız-zaman ve ivme-zaman grafiklerini okuyup birbirine çevirecek, sonunda grafikten denklemlere kendin ulaşacaksın. Anlatıcıların Ece ile robot arkadaşı Volt.
Nerede, ne kadar, ne yönde? Sabit hızlı hareket
FİZ.10.1.1 (a) · Sabit Hızlı Hareket
Bu bölümde: Konum, yer değiştirme, alınan yol, hız ve sürati ölçümle bağlayacaksın. Sabit hızlı hareketi hareket haritasıyla çizeceksin.≈ 7 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
konum — referans noktasına göre bulunulan yer · bu değildir: gidilen yolun toplamı değildir
yer değiştirme — ilk konumdan son konuma ok · bu değildir: gidilen toplam yol değildir
alınan yol — gidilen yolun toplam uzunluğu · bu değildir: başlangıca olan uzaklık değildir
sürat — birim zamanda alınan yol · bu değildir: hızın öteki adı değildir
30 saniye
Gidip geri dönen bir yürüyüşçünün yer değiştirmesi, aldığı yola eşit olabilir mi?
Ne kadar eminsin?
Tek yönde dümdüz giderse ikisi eşittir. Geri dönüş varsa yol büyür, yer değiştirme küçülür; ilk sahnelerde ikisini ayrı ayrı çizeceğiz.
Okul bahçesi. Düz koşu yolu metreyle işaretlendi; Volt kronometre tutuyor.
ECE: Kapıdan çıktım, biraz yürüdüm. Nerede olduğumu söylemek için bu yetmez mi?
VOLT: Önce bir referans noktası ve bir + yön seçelim. Konum, o noktaya uzaklığın ve yönündür.
Volt, Ece yürürken her saniyede konumunu tabloya yazıyor (kurgusal veri).
ECE: Her saniyede 2 m ilerlemişim. Aralıklar hep eşit.
VOLT: Eşit zaman aralıklarında eşit yer değiştirme: buna sabit hızlı hareket denir.
Koridorun sonuna kadar gidip yarı yoldan geri döndün. Hangisi daha büyük?
Alınan yol. Yol, gidilen her metreyi sayar; yer değiştirme yalnızca ilk ve son konum arasındaki oktur. Geri dönüş oku kısaltır ama sayacı artırır.
Ece 8 m ileri yürüyüp 3 m geri dönüyor; Volt iki niceliği ayrı ayrı çiziyor.
ECE: Toplam 11 m yürüdüm; yer değiştirmem de 11 m olmalı.
VOLT: Kısa cevap: 5 m. Alınan yol 8 + 3 = 11 m; yer değiştirme 8 − 3 = 5 m.
Ece kendi ölçümünü tahtaya yazıyor; Volt yalnızca soru soruyor.
ECE: Aralıklar eşit çıktı; hızım sabit 2 m/s. Genellemem: eşit aralık, sabit hız.
VOLT: Neden böyle dedin? Nereden biliyorsun?
ECE: Kronometre ve metreyle beş aralık ölçtüm; hepsi 2 m çıktı. Yeni ölçümde de bunu ararım.
Ece +10 m'deki bayraktan başlangıç noktasına 5 saniyede yürüdü. Hızı nedir?
−2 m/s. Yer değiştirme 0 − 10 = −10 m; hız −10 / 5 = −2 m/s çıkar. Hız vektöreldir, işareti yönü söyler; sürati soran olursa 2 m/s dersin.
Bence gidip geri dönsem de yer değiştirmem, yürüdüğüm toplam yola eşittir.
Ama bu yanlış.
yer değiştirme yalnızca ilk konumdan son konuma çizilen oktur. Koridorda 8 m gidip 3 m dönersen yol 11 m, yer değiştirme 5 m olur. Ok geri dönüşte kısalır; sayaç ise hep artar.
Konum, seçtiğin referans noktasına göre söylenir; işaretler, seçtiğin + yöne göre okunur.
Yer değiştirme: son konum − ilk konum; yönü olan bir oktur (vektörel). Alınan yol: gidilen toplam uzunluk (skaler). Yol, yer değiştirmenin büyüklüğünden küçük olamaz.
Sabit hızlı harekette eşit zaman aralıklarında eşit yer değiştirme olur. v = Δx / Δt
Kelimelerle: hız, yer değiştirmenin geçen süreye bölümüdür; sürat, alınan yolun geçen süreye bölümüdür.Harfler: v: hız (m/s) · Δx: yer değiştirme (m) · Δt: geçen süre (s)
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden formülü ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra iki yazımı yan yana koy.
Hareket haritası
Önce tahmin: hız −2 m/s olursa noktalar sayı doğrusunda hangi yana dizilir, oklar nereye bakar? Kendine söyle, sonra dene.
Başlangıç konumunu ve hızı seç, süreyi ilerlet. Araç her saniye bir nokta ve bir hız oku bırakır.
Kâğıt eşdeğeri: defterine bir sayı doğrusu çiz; x₀ = 2 m ve v = −1 m/s için beş saniyenin noktalarını işaretle. Bu ölçümü bahçede ya da koridorda bir arkadaşınla da yapabilirsin; trafikte ya da yol kenarında ölçüm yapma, araç verileri kitapta hazır tablo olarak verilir.
Alınan yol taksimetre gibidir: araç nereye dönerse dönsün sayaç yalnızca artar. Yer değiştirme ise başlangıçtan bitişe çizilen tek bir oktur.
Taksimetre ücrete beklemeyi de ekler; alınan yol yalnızca gidilen uzunluğu sayar. Ok ise uzunlukla birlikte yön de taşır; sayaçta yön yoktur.
Yolu sayaçla, yer değiştirmeyi okla düşün: geri dönüş sayacı artırır, oku kısaltır.
Verilen temsil tablo (kurgusal veri): yürüyen Ece'nin her saniyedeki konumu. Ötekini üret: (1) hareket haritasını çiz (nokta + hız oku); (2) hızını bul; (3) tek cümleyle anlat.
t (s)
0
1
2
3
4
5
x (m)
0
2
4
6
8
10
Cevabı göster
Hareket haritası:
Hız: v = Δx / Δt = (10 − 0) / (5 − 0) = 2 m/s. Aralıklar eşit olduğu için hangi iki anı seçersen seç aynı çıkar.
Cümle: Ece + yönde, sabit 2 m/s ile yürüyor.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: tablodaki eşit artışlar ↔ haritadaki eşit aralıklar; artışın büyüklüğü ↔ okların boyu.
Ece koridorda +8 m yürüyüp 3 m geri döndü; tümü 10 s sürdü. Ortalama süratini ve hızını hesaplıyor. Hangi adımda yanlış yaptı?
Verilenler: ileri 8 m, geri 3 m, toplam süre 10 s.
Alınan yol = 8 + 3 = 11 m.
Yer değiştirme = 8 + 3 = 11 m.
Ortalama sürat = 11 / 10 = 1,1 m/s.
Ortalama hızın büyüklüğü de 1,1 m/s olur; iki nicelik aynı çıktı.
Hata 3. adımda (kavram). Yer değiştirmede geri dönüş çıkarılır: Δx = 8 − 3 = 5 m. Hız = 5 / 10 = 0,5 m/s; sürat 1,1 m/s. Yol yer değiştirmeden küçük olamaz ama büyük olabilir; 5. adımdaki eşitlik de bu yüzden bozulur.
Kendine sor: Alınan yol, yer değiştirmenin büyüklüğünden küçük olabilir mi? Cevap
Olamaz. İki konum arasındaki en kısa bağlantı yer değiştirme okudur; gidilen yol en az o kadardır. Tek yönde dümdüz gidince ikisi eşit olur.
Grafikler konuşur: konum-zaman ve hız-zaman
FİZ.10.1.1 (b–c) · Sabit Hızlı Hareket
Bu bölümde: Konum-zaman ve hız-zaman grafiklerini okuyacaksın: eğimden hız, alandan yer değiştirme. Sonra x = x₀ + v·t modelini kuracaksın.≈ 8 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
eğim — dikey değişimin yatay değişime oranı · bu değildir: çizginin o andaki yüksekliği değildir
grafikte alan — çizgi ile zaman ekseni arasındaki bölge · bu değildir: x-t grafiğinde bir anlamı yoktur
parçalı grafik — kuralı kesim kesim değişen grafik · bu değildir: birden çok aracın grafiği değildir
kesim — grafikte tek kurallı bölüm · bu değildir: grafiğin kırık ya da bozuk yeri değildir
30 saniye
x-t grafiğinde çizgi sağa doğru alçalıyorsa cisim ne yapıyordur?
Ne kadar eminsin?
− yönde ilerliyordur: konum azalıyor. Grafik yolun resmi değildir; bu tuzağı ilk sahnede konuşacağız.
VOLT: Grafik yolun resmi değildir. Yükselen çizgi konumun arttığını söyler; eğimi de hızı verir.
Aynı yürüyüşün bir de hız-zaman grafiği çiziliyor.
ECE: Bu grafik dümdüz. Hareket durdu mu?
VOLT: Hız 2 m/s'de sabit demek. Çizginin altındaki alan yer değiştirmeyi verir: 2 · 5 = 10 m.
x-t grafiğinde hız nereden okunur?
Eğiminden. Yükseklik o andaki konumdur; eğim, konumun ne hızla değiştiğini söyler. x-t grafiğinde alanın bir anlamı yoktur.
Raydaki pilli araba: 3 s ileri, 2 s duruyor, 2 s geri (kurgusal ölçüm).
ECE: Ortadaki bölüm dümdüz. Araba orada sabit hızla mı gidiyor?
VOLT: x-t'de yatay bölüm durmaktır: zaman geçiyor, konum değişmiyor. Sabit hız, eğik doğrudur.
Aynı yolculuğun v-t grafiğinde son kesimin alanı eksenin altında kalıyor.
ECE: Alan eksi olur mu? Son kesimin alanı aşağıda kaldı.
VOLT: Olur: o alan −6 m, geri gidişi sayar. Yer değiştirme 6 − 6 = 0; alınan yol 6 + 6 = 12 m.
v-t grafiğinde çizgi zaman ekseninin altındaysa cisim ne yapıyordur?
− yönde ilerliyordur: eksenin altı, hızın işaretinin eksi olması demektir. Yavaşlayıp yavaşlamadığını bu tek başına söylemez; o, süratin değişimine bakar.
Bence konum-zaman grafiği yolun resmidir; çizgi yukarı gidiyorsa araç yokuş çıkıyordur.
Ama bu yanlış.
grafiğin dikey ekseni yükseklik değil, konumdur. Yükselen çizgi "konum artıyor" der; yol dümdüz olabilir. (ABD'de öğretim sonrası 524 lise ve üniversite öğrencisinin yaklaşık dörtte biri bu hatayı yaptı; Beichner 1994.)
Grafik kuralı (tek satır):x-t'de eğim = hız · v-t'de eğim = ivme · v-t'de alan = yer değiştirme · a-t'de alan = hız değişimi İvmeyi 1.3'te, a-t grafiğini 1.4'te tanıyacaksın; kural şimdiden tek satır dursun.
Sabit hızlı hareketin modeli: x = x₀ + v·t
Kelimelerle: son konum, başlangıç konumuna her saniye hız kadar eklenince bulunur.Harfler: x: t anındaki konum (m) · x₀: başlangıç konumu (m) · v: hız (m/s) · t: süre (s)
Yalnız yer değiştirme istenirse: Δx = v·t. Parçalı grafik kesim kesim okunur; her kesim kendi eğimini ve alanını taşır.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden formülü ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra iki yazımı yan yana koy.
Çapa: Koşu bandındaki model: x = x₀ + v·t. Başlangıçta x₀ = 2 m'de olan ve v = 3 m/s ile giden yürüyüşçü t = 4 s'de nerede? x = 2 + 3 · 4 = 14 m.
Varyant 1: yalnızca hızın işareti değişti: v = −3 m/s oldu. Konum artar mı, azalır mı, aynı mı?
Azalır: x = 2 − 3 · 4 = −10 m. Yürüyüşçü referans noktasının öbür yanına geçti; eksi konum 'öbür yanda 10 m' demektir.
Varyant 2: yalnızca süre değişti: t = 8 s oldu. Konum artar mı, azalır mı, aynı mı?
Artar: x = 2 + 3 · 8 = 26 m. Süre iki katına çıkınca yer değiştirme de ikiye katlanır: 3 · 4 = 12 m yerine 3 · 8 = 24 m.
Varyant 3: yalnızca başlangıç konumu değişti: x₀ = −2 m oldu. Konum artar mı, azalır mı, aynı mı?
Azalır: x = −2 + 3 · 4 = 10 m. Yer değiştirme aynı kaldı (3 · 4 = 12 m); yalnızca yolculuk 4 m geriden başladı.
Karşı-örnek: Hız sabit değilse bu model işlemez. Hızlanan araba için x-t doğrusu değil eğridir; o zaman v-t alanına ya da 1.5'teki modele geçersin.
Grafik ikizi: x-t ile v-t
Önce tahmin: son kesimin hızını eksi yaparsan yer değiştirme sayacı artar mı, azalır mı? Alınan yol sayacı ne yapar? Kendine söyle, sonra dene.
Üç kesimlik bir yolculuk kur (her kesim 2 saniye). İki grafik aynı anda çizilir; bir kesime dokununca eğim ve alan yan yana görünür.
Kâğıt eşdeğeri: v = +2, +2, −1 m/s kesimleri için x-t ve v-t grafiklerini defterine çiz; yer değiştirmeyi ve alınan yolu ayrı ayrı yaz.
x-t grafiği bir film şeridi gibidir: soldan sağa zaman akar, çizgi her andaki konumu tek tek gösterir.
Film karesi yolun fotoğrafını çeker; grafik çekmez. Çizginin tırmanması yokuş değil, konumun artmasıdır.
Grafiğe resim gibi bakma; önce eksen adlarını oku, sonra eğimi ve alanı konuştur.
Derine in (isteğe bağlı)
İki hareketli aynı grafikte (zenginleştirme). İki aracın aynı x-t grafiğinde incelenmesi programda zenginleştirmedir; bu kitapta yalnız testin "(ek)" etiketli sorusunda var. Kural değişmez: her çizginin kendi eğimi kendi hızıdır; çizgilerin kesiştiği anda iki araç aynı konumdadır.
Verilen temsil cümle: "Ece durakta 2 s bekledi; sonra 4 s boyunca +1,5 m/s sabit hızla yürüdü." Ötekini üret: x-t ve v-t grafiklerinin eskizini çiz.
Cevabı göster
x-t: önce 2 s yatay (konum 0'da bekliyor), sonra eğimi +1,5 olan doğru; 6. saniyede x = 1,5 · 4 = 6 m.
v-t: önce sıfır çizgisi, sonra 1,5 m/s'de yatay basamak.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: x-t'deki yatay bölüm ↔ v-t'deki sıfır çizgisi; x-t'nin eğimi 1,5 ↔ v-t'nin yüksekliği 1,5.
Volt, v-t grafiği sabit 3 m/s gösteren bir aracın 6 saniyedeki yer değiştirmesini soruyor. Ece'nin çözümünde hangi adım yanlış?
Verilenler: v-t grafiği; hız 3 m/s'de sabit, süre 0'dan 6 s'ye.
Yer değiştirmeyi bulmak için çizginin eğimine bakarım.
Eğim = (3 − 3) / (6 − 0) = 0.
Öyleyse Δx = 0; araç hiç yer değiştirmemiş.
Hata 2. adımda (eğim-alan). v-t grafiğinde yer değiştirmeyi eğim değil alan verir: Δx = 3 · 6 = 18 m. Eğim ivmedir; sıfır eğim "hız sabit" demektir, "yer değiştirme sıfır" demek değildir. 3 ve 4. adımların aritmetiği doğru, kuralı yanlıştır.
Kendine sor: x-t grafiğinde çizginin gittikçe dikleşmesi ne anlatır? Cevap
Eğim hızı verir; dikleşen çizgi hızın arttığını anlatır. Bu hareketin bütün grafiklerini 1.4'te çizeceksin.
İvme: hız ne kadar hızlı değişiyor?
FİZ.10.1.2 (a–b) · Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket
Bu bölümde: İvmeyi hız değişiminden hesaplayacaksın. Hızlanma ile yavaşlamayı ivmenin işaretine değil, hız ile ivmenin yönlerine bağlayacaksın.≈ 7 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
ivme — hızın saniyedeki değişimi · bu değildir: hızın kendisi değildir
hızlanma — cismin süratinin giderek artması · bu değildir: her artı ivme değildir
yavaşlama — cismin süratinin giderek azalması · bu değildir: eksi ivmenin öteki adı değildir
hız değişimi — son hız eksi ilk hız · bu değildir: hızların toplamı değildir
30 saniye
Bir araba − yönde gidiyor ve sürati artıyor. İvmesinin işareti nedir?
Ne kadar eminsin?
− olur. Hız − yönde büyüyor; değişim de − yönü gösterir. Eksi ivme fren demek değildir; birazdan tabloda C aracında göreceksin.
Volt dört aracın hızlarını hazır veri olarak veriyor (kurgusal); süre 3 saniye.
ECE: Hangisi hızlanıyor? Sayısı büyüyenler mi?
VOLT: İşarete de bakacağız. Önce her aracın ivmesini bulalım: a = Δv / Δt.
Volt, A ve B araçlarını hareket haritasında yan yana çiziyor.
ECE: A'nın okları büyüyor, B'ninkiler küçülüyor. İvme oku neden hep aynı boyda?
VOLT: İvme sabit: her saniye hıza aynı ekleme yapılıyor. Ok hızla aynı yöndeyse araç hızlanır.
Deniz: "İvmesi eksi olan araç yavaşlar." Çınar: "Tabloda karşı-kanıt var." Hangi araç Çınar'ı haklı çıkarır?
C aracı. İvmesi (−8 − (−2)) / 3 = −2 m/s² ama sürati 2'den 8'e çıkıyor: eksi ivmeyle hızlanıyor. İddia veriyle sınanır; tek bir karşı-örnek genellemeyi çürütür.
Raydaki araba ileri giderken yavaşlıyor, bir an durup geri dönüyor.
ECE: Durduğu anda ivmesi de sıfırdır; o an hiçbir şey olmuyor ki.
VOLT: Kısa cevap: sıfır değil. Hız o anda sıfır ama değişmeye devam ediyor; eğim hâlâ −2.
Volt dört durumu tek kurala bağlıyor.
ECE: Dört ayrı durumu ezberlemem mi gerekecek?
VOLT: Tek kural yeter: hız ile ivme aynı yönlüyse hızlanma, zıt yönlüyse yavaşlama olur.
Hızı −4 m/s, ivmesi −2 m/s² olan araç ne yapıyordur?
Hızlanıyordur. İkisi de − yönü gösteriyor; sürat her saniye 2 m/s artar. Eksi işaret yön bilgisidir, fren bilgisi değildir.
Bence ivmesi negatif olan cisim kesin yavaşlıyordur.
Ama bu yanlış.
işaret yönü söyler, yavaşlamayı söylemez. − yönde gidip sürati artan aracın ivmesi de −'dir: hız ile ivme aynı yönlüdür, araç hızlanır. Yavaşlama, hız ile ivmenin zıt yönlü olmasıdır.
a = Δv / Δt
Kelimelerle: ivme, hız değişiminin geçen süreye bölümüdür; hızın her saniye kaç m/s değiştiğini söyler.Harfler: a: ivme (m/s²) · Δv: hız değişimi, son hız − ilk hız (m/s) · Δt: geçen süre (s)
Yön kuralı: ivme hızla aynı yönde ise hızlanma, zıt yönde ise yavaşlama olur. İşaret tek başına yavaşlama demek değildir.
Hızı sıfır olan cismin ivmesi sıfır olmayabilir: dönüş anında hız 0'dır, değişim sürer. İvmeyi neyin oluşturduğunu 11. sınıfta göreceksin.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden formülü ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra iki yazımı yan yana koy.
Çapa: a = Δv / Δt: hızı 3 saniyede 4 m/s'den 10 m/s'ye çıkan araç için a = (10 − 4) / 3 = 2 m/s².
Varyant 1: yalnızca hızların sırası değişti: 10 m/s'den 4 m/s'ye düştü. İvmenin büyüklüğü artar mı, azalır mı, aynı mı?
Aynı kalır, işareti değişir: a = (4 − 10) / 3 = −2 m/s². Δv artık eksidir; araç + yönde gidiyorsa yavaşlıyordur.
Varyant 2: yalnızca süre değişti: aynı hız değişimi 6 saniyede oldu. İvme artar mı, azalır mı, aynı mı?
Azalır: a = (10 − 4) / 6 = 1 m/s². Aynı değişim daha uzun süreye yayılınca saniye başına düşen pay küçülür.
Varyant 3: yalnızca ilk hız değişti: 1 m/s'den 10 m/s'ye, yine 3 saniyede. İvme artar mı, azalır mı, aynı mı?
Artar: a = (10 − 1) / 3 = 3 m/s². Δv büyüdü (9 m/s), süre aynı kaldı.
Karşı-örnek: İvme sabit değilse (metro kalkışta gittikçe sertleşiyorsa) Δv / Δt yalnızca ortalama ivmeyi verir; her anın ivmesini vermez.
İvme okları
Önce tahmin: v₀ = +3 m/s ve a = −1 m/s² olan araç durur mu, geri döner mü? Kendine söyle, sonra dene.
İlk hızı ve ivmeyi seç. Hareket haritasında hız okları her saniye değişir; ivme oku sabit kalır.
Kâğıt eşdeğeri: v₀ = +3 m/s, a = −1 m/s² için 0–5 s hız tablosunu defterine yaz; hangi saniyede işaret değişiyor?
Bence bir an duran cismin o andaki ivmesi de sıfırdır; değişen bir şey yok.
Ama bu yanlış.
bir an durmak, değişimin durması değildir. Geri dönen araba dönüş anında bir an durur; hızı o anda da değişmektedir. v-t çizgisi ekseni keserken eğim yok olmaz: v = 0 iken a = −2 m/s² olabilir.
Verilen temsil tablo satırı: B aracının hızı 3 saniyede 12 m/s'den 6 m/s'ye iniyor. Ötekini üret: v-t eskizini çiz, ivmeyi eğimden bul, durumu tek cümleyle yaz.
araç
ilk hız (m/s)
3 s sonraki hız (m/s)
B
12
6
Cevabı göster
v-t eskizi ve eğim:
İvme: eğim = Δv / Δt = (6 − 12) / 3 = −2 m/s².
Cümle: B aracı + yönde gidiyor, her saniye 2 m/s yavaşlıyor.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: tablodaki iki hız ↔ doğrunun iki ucu; hızların farkının süreye oranı ↔ doğrunun eğimi.
B aracının hızı 3 saniyede 12 m/s'den 6 m/s'ye indi. Ece ivmesini hesaplıyor. Hangi adımda yanlış yaptı?
Verilenler: ilk hız 12 m/s, son hız 6 m/s, süre 3 s.
Δv = 12 − 6 = 6 m/s.
a = Δv / Δt = 6 / 3 = 2 m/s².
İvme artı çıktı; araç hızlanıyor.
Hata 2. adımda (işaret). Δv her zaman son − ilk sırasıyla alınır: Δv = 6 − 12 = −6 m/s. Böylece a = −6 / 3 = −2 m/s² çıkar: hız + yönde, ivme zıt yönde; araç yavaşlıyor. 3 ve 4. adımlar bu işaret hatasından türedi.
Kendine sor: Hızı sıfır olan bir cismin ivmesi sıfır olmak zorunda mı? Cevap
Zorunda değil. Geri dönen araç dönüş anında bir an durur; hızı değişmeye devam ettiği için ivmesi vardır.
Sabit ivmeli hareketin üç grafiği
FİZ.10.1.3 (a–b) · Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket
Bu bölümde: Sabit ivmeli hareketin a-t, v-t ve x-t grafiklerini tanıyacak, birini ötekine dönüştüreceksin.≈ 6 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
a-t grafiği — ivmenin zamana göre grafiği · bu değildir: hız grafiği değildir
eğri x-t — eğimi sürekli değişen konum grafiği · bu değildir: aracın izlediği yokuş değildir
grafik dönüşümü — bir grafikten ötekini çıkarma · bu değildir: çizgiyi aynen kopyalamak değildir
eğim üçgeni — eğimi ölçen yardımcı dik üçgen · bu değildir: grafiğin bir parçası değildir
30 saniye
Sabit ivmeyle hızlanan aracın x-t grafiği nasıldır?
Ne kadar eminsin?
Gittikçe dikleşen bir eğri. Hız her saniye arttığı için eğim de her saniye artar; ilk sahnedeki şeritler bunu gösterecek.
Volt, aracın her saniyede aldığı yolu ayrı bir şerit gibi kesip yan yana dizdi (kurgusal veri).
ECE: Şeritler merdiven gibi: 3, 5, 7, 9. Her basamak 2 m uzamış.
VOLT: Her şerit bir saniyenin yolu. Boylar eşit artıyorsa ivme sabittir; uçları v-t doğrusunu çizer.
Volt aynı hareketi üç grafikte birden gösteriyor.
ECE: Aynı hareketin üç grafiği birbirine hiç benzemiyor.
VOLT: Üçü tek hikâye: a-t yatay, v-t eğik doğru, x-t gittikçe dikleşen eğri.
a-t grafiğinde çizginin altındaki alan neyi verir?
Hız değişimini: alan = a · t = Δv. Bu harekette 2 · 4 = 8 m/s; hız 2'den 10'a çıktı. Yer değiştirme v-t alanından okunur.
Sıra dönüştürmede: Volt kuralları oklarla tahtaya yazıyor.
ECE: x-t'nin kıvrılması beni hâlâ ürkütüyor. Araç viraj mı alıyor?
VOLT: Araç dümdüz bir rayda. Kıvrılan yol değil grafiktir: eğim büyüyor, çünkü hız büyüyor.
Bence grafiğin en yüksek olduğu anda hız da en büyüktür.
Ama bu yanlış.
x-t grafiğinde hızı yükseklik değil, eğim verir. Tepe noktasında eğim sıfırdır: cisim o anda durur ve yön değiştirir. En büyük hız, çizginin en dik olduğu andadır.
Grafik kuralı (tek satır):x-t'de eğim = hız · v-t'de eğim = ivme · v-t'de alan = yer değiştirme · a-t'de alan = hız değişimi
Sabit ivmeli hareketin üç grafiği: a-t zaman eksenine paralel bir doğru; v-t eğik bir doğru (eğimi a); x-t gittikçe dikleşen ya da yatıklaşan bir eğri.
Dönüştürme: v-t'den a-t'ye eğimle, v-t'den x-t'ye alanla geçilir; a-t'nin alanı Δv verir. Ters yönde de aynı kurallar çalışır.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden kuralı ve örneğini bir kâğıda yaz, sonra iki yazımı yan yana koy.
Üçlü grafik çevirici
Önce tahmin: v-t doğrusunu eksenin altına indirirsen x-t eğrisi hangi yöne kıvrılır? Kendine söyle, sonra dene.
v-t doğrusunun iki ucunu ayarla; a-t ve x-t kendiliğinden çizilir. Zaman imleci üç grafikte aynı anı gösterir.
Kâğıt eşdeğeri: v₀ = 2 ve 4. saniyede 10 m/s olan v-t doğrusundan a-t ve x-t eskizlerini defterine çiz.
Verilen temsil v-t grafiği: hız 2 m/s'den 10 m/s'ye, 4 saniyede düzgün olarak çıkıyor. Ötekini üret: a-t ve x-t grafiklerini çiz.
Cevabı göster
a-t: eğim = (10 − 2) / 4 = 2 m/s²; grafik 2'de yatay bir doğru.
x-t: alan biriktirilir: 1. saniyeye kadar 3 m, 2. saniyeye kadar 8 m, sonra 15 ve 24 m; noktalar dikleşen bir eğri çizer.
Eğim / alan neye karşılık: v-t'nin eğimi (2) ↔ a-t'nin yüksekliği; v-t'nin t = 2 s'ye kadarki alanı (8 m) ↔ x-t'nin t = 2'deki değeri.
Raydaki bir aracın x-t grafiği veriliyor (değerler kurgusal). Ece grafiği yorumluyor. Hangi adımda yanlış yaptı?
Dikleşen çizgi, aracın gittikçe dikleşen bir yokuşa tırmandığını gösterir.
Yokuş dikleştiğine göre araç birazdan yavaşlar.
Hata 3. adımda (okuma). x-t grafiği yolun resmi değildir; dikey eksen yükseklik değil, konumdur. Dikleşen çizgi eğimin, yani hızın arttığını söyler: araç düz rayda hızlanıyor. 4. adım da bu yanlış okumadan türedi. (Beichner 1994: "grafik resimdir" hatası.)
Kendi kendini puanla · grafiğe üç senaryo. Aşağıdaki v-t grafiği bir aracın 2 s sabit hızla gidip 2 s'de durduğunu gösteriyor. Bu grafiğe uyan üç farklı gerçek yaşam senaryosu yaz; her senaryoda sayıları da kullan.
Tam puan çözüm şuna benzer
1) Bisikletli düz yolda 2 s boyunca 6 m/s ile gitti; ışığı görünce fren yaptı ve 2 s'de durdu. 2) Koşucu 6 m/s ile koşarken bitiş çizgisini geçti, 2 s'de yavaşlayıp durdu. 3) Servis aracı durağa yaklaşırken 2 s sabit 6 m/s gitti, sonra düzgün biçimde 2 s'de durdu. Üçünde de ivme son bölümde (0 − 6) / 2 = −3 m/s².
Eksen adlarını ve birimleri okudum (hız, m/s; zaman, s)
Her kesime ayrı bir olay yazdım (sabit hız, sonra yavaşlama)
Sayıyı bağlama çevirdim (6 m/s: hızlı bisiklet düzeyi)
Kendine sor: v-t grafiğinden x-t'ye geçerken hangi kuralı kullanırsın? Cevap
Alan kuralını: v-t'de çizgi altındaki alan yer değiştirmedir; alanı zamanla biriktirip x-t'yi çizersin.
Grafikten denkleme ve kendi cümlene
FİZ.10.1.3 (b–c) · Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket
Bu bölümde: Grafikten iki denklemi çıkaracaksın: v = v₀ + a·t ve Δx = v₀·t + ½·a·t². Sonra grafik, denklem ve cümle arasında gidip geleceksin.≈ 8 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
matematiksel model — hareketi özetleyen kısa denklem · bu değildir: grafikten kopuk bir ezber değildir
ortalama hız — yer değiştirmenin toplam süreye oranı · bu değildir: hızların her durumda ortalaması değildir
ilk hız — hareketin başındaki hız · bu değildir: her zaman sıfır değildir
v-t alanı — hız çizgisi altında kalan bölge · bu değildir: alınan yolla her zaman eşit değildir
30 saniye
Duran araç sabit ivmeyle hızlanıp 3. saniyede 6 m/s'ye ulaşıyor. İlk 3 saniyede kaç metre gider?
Ne kadar eminsin?
9 m. Araç yol boyunca 6 m/s gitmedi; ortalaması (0 + 6) / 2 = 3 m/s eder ve 3 · 3 = 9 m çıkar.
Volt, v-t grafiğinin altındaki alanı ikiye bölüyor: dikdörtgen ve üçgen.
ECE: Yeni bir formül mü ezberleyeceğim?
VOLT: Ezber değil, alan: dikdörtgen v₀·t, üçgen ½·a·t². Toplamları yer değiştirmedir.
Aynı hareket bir de hareket haritasında: oklar her saniye eşit miktarda uzuyor.
ECE: Oklar 4, 6, 8, 10 diye uzuyor; kural bu mu?
VOLT: Evet: v = v₀ + a·t. Üç saniye sonra 4 + 2 · 3 = 10 m/s olur.
v₀ = 4 m/s, a = 2 m/s² olan aracın 3 s sonraki hızı nedir?
v = v₀ + a·t = 4 + 2 · 3 = 10 m/s. 6 çıktıysa a ile t'yi çarpmadın; 24 çıktıysa toplam yerine çarpma yaptın.
Şehir trafiği: iki ışık arasında dur-kalk (programın yakıt bağlamı).
ECE: Aynı yolu gittiğim hâlde dur-kalk trafikte yakıt neden daha çok yanıyor?
VOLT: Her kalkış, aracı sıfırdan yeniden hızlandırmak demek. Sürüş yumuşadıkça bu eklemeler ve sarfiyat azalır.
Ece aynı hareketi üç dille yazıyor; kendi cümlesi en sağda.
ECE: Kendi cümlem şu: hız 4'ten başlar, her saniye 2 artar.
VOLT: Cümlen, denklemin ve grafiğin aynı hikâyeyi anlatıyor. Hangisi verilirse oradan ötekilere geçebilirsin.
Sabit ivmeyle hızı 4 m/s'den 10 m/s'ye çıkan aracın ortalama hızı nedir?
(4 + 10) / 2 = 7 m/s. Sabit ivmede ortalama hız, ilk ve son hızın ortalamasıdır; 7 · 3 = 21 m, alanla aynı sonucu verir.
Bence son hızı 10 m/s olan araç 3 saniyede 10 · 3 = 30 m gider.
Ama bu yanlış.
araç yolun tamamında 10 m/s değildi; 4 m/s'den başladı. Yer değiştirme v-t alanıdır: ortalama hız (4 + 10) / 2 = 7 m/s ve Δx = 7 · 3 = 21 m. Son hızla çarpmak, en dik şeridi bütün yola yaymaktır.
Grafik kuralı (tek satır):x-t'de eğim = hız · v-t'de eğim = ivme · v-t'de alan = yer değiştirme · a-t'de alan = hız değişimi
v = v₀ + a·t
Kelimelerle: son hız, ilk hıza her saniye ivme kadar eklenince bulunur.Harfler: v: son hız (m/s) · v₀: ilk hız (m/s) · a: ivme (m/s²) · t: süre (s)
Δx = v₀·t + ½·a·t²
Kelimelerle: yer değiştirme, v-t alanıdır: dikdörtgen (v₀·t) artı üçgen (½·a·t²).Harfler: Δx: yer değiştirme (m) · v₀: ilk hız (m/s) · a: ivme (m/s²) · t: süre (s)
Sabit ivmede ortalama hız: vort = (v₀ + v) / 2; yer değiştirme vort · t ile de bulunur.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden formülü ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra iki yazımı yan yana koy.
Çapa: Δx = v₀·t + ½·a·t²: v₀ = 4 m/s, a = 2 m/s², t = 3 s için Δx = 4 · 3 + ½ · 2 · 9 = 12 + 9 = 21 m.
Varyant 1: yalnızca ilk hız değişti: v₀ = 0 oldu (durgun kalkış). Yer değiştirme artar mı, azalır mı, aynı mı?
Azalır: Δx = 0 + ½ · 2 · 9 = 9 m. Dikdörtgen bölüm yok oldu; yalnız üçgen kaldı.
Varyant 2: yalnızca süre değişti: t = 6 s oldu. Yer değiştirme artar mı, azalır mı, aynı mı?
Artar: Δx = 4 · 6 + ½ · 2 · 36 = 24 + 36 = 60 m. Süre iki katına çıkınca üçgen bölüm dört katına çıkar; artış iki kattan fazladır.
Varyant 3: yalnızca ivmenin işareti değişti: a = −2 m/s² oldu. Yer değiştirme artar mı, azalır mı, aynı mı?
Azalır: Δx = 12 − 9 = 3 m. Araç önce yavaşlar, 2. saniyede bir an durur, sonra geri döner (3. saniyede v = 4 − 2 · 3 = −2 m/s). 3 m yer değiştirmedir; alınan yol 4 + 1 = 5 m olur.
Karşı-örnek: Grafik parçalıysa (araç önce hızlanıp sonra sabit gidiyorsa) tek formül bütün yolculuğa uygulanmaz; her kesim kendi kuralıyla, kesim kesim hesaplanır.
Derine in (isteğe bağlı)
Zamansız hız denklemi (okulda istenirse). v-t alanından süreyi yok edersen v² = v₀² + 2·a·Δx çıkar. Program bu ünitede modelleri grafikten kuruyor; bu denklem yalnız burada ve testin "(ek)" etiketli sorusunda geçer.
Verilen temsil denklem: v = 8 − 2·t. Ötekini üret: v-t grafiğini çiz ve hareketi tek cümleyle anlat.
Cümle: hız 8 m/s'den başlar, her saniye 2 m/s azalır; araç 4. saniyede durur.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: denklemdeki 8 ↔ doğrunun düşey ekseni kestiği yer; −2 ↔ doğrunun eğimi.
Sabit 72 km/h hızla giden bir araç 10 saniyede kaç metre yol alır? Ece'nin çözümünde hangi adım yanlış?
Verilenler: v = 72 km/h (sabit), t = 10 s.
Model: sabit hızda Δx = v·t.
Δx = 72 · 10 = 720 m.
Kontrol: 10 saniyede 720 m; hızlı bir araç için uygun görünüyor.
Hata 3. adımda (birim). Birimler karıştı: hız km/h, süre saniye. Önce çevir: 72 km/h = 72 / 3,6 = 20 m/s. Sonra Δx = 20 · 10 = 200 m. 720 m doğru olsaydı araç 72 m/s (≈ 260 km/h) gidiyor olurdu; Makul mü kontrolü bunu tek bakışta yakalar.
Kendine sor: Δx formülünü unuttun. Yer değiştirmeyi grafikle nasıl bulurdun? Cevap
v-t grafiğini çizer, çizginin altındaki alanı hesaplarsın: dikdörtgen artı üçgen. Formül zaten bu alanın kısaltmasıdır.
Soru: her hücrede bir aracın o andaki hızı ve ivmesi var. Hangi durumlarda araç yavaşlamaktadır? Doğru bulduğun hücrelere dokun, sonra kontrol et.
v = +4 m/s a = −2 m/s²
v = −3 m/s a = −1 m/s²
v = +2 m/s a = +2 m/s²
v = −6 m/s a = +2 m/s²
v = +5 m/s a = 0 m/s²
v = 0 m/s a = −2 m/s²
v = −2 m/s a = −2 m/s²
v = +1 m/s a = −1 m/s²
v = +8 m/s a = +1 m/s²
Bugün öğrendiğim en önemli şey (grafiklerle ilgili tek cümle):
Hâlâ bulanık olan (eğim mi, alan mı, ivmenin yönü mü?):
Kendi örneğim (bugün gördüğüm bir hareket ve onun v-t eskizi):
Hangi formül, hangi soruda?
Soru hangi kelimeyi söylüyorsa o satıra bak.
Formül ya da kural
Soru hangi kelimeyi söyleyince
Harfler ve birimler
Grafik kuralı (tek satır)
"grafikten hız", "grafikten yer değiştirme", "eğim", "alan"
x-t'de eğim = hız · v-t'de eğim = ivme · v-t'de alan = yer değiştirme · a-t'de alan = hız değişimi
v = Δx / Δt
"ortalama hız", "kaç m/s"
v: hız (m/s) · Δx: yer değiştirme (m) · Δt: süre (s). Sürat için Δx yerine alınan yol konur.
x = x₀ + v·t
"t anında nerede?", "kaçıncı metrede?"
x: konum (m) · x₀: başlangıç konumu (m) · v: hız (m/s). Yalnız sabit hızda.
Δx = v·t
"sabit hızla ne kadar yol?"
Sabit hızda yer değiştirme; v-t grafiğinde dikdörtgen alan.
a = Δv / Δt
"hız şu sürede şuradan şuraya çıktı", "ivmesi kaç?"
a: ivme (m/s²) · Δv: son hız − ilk hız (m/s). İşaretiyle yazılır.
v = v₀ + a·t
"t saniye sonra hız"
v: son hız · v₀: ilk hız (m/s) · a: ivme (m/s²) · t: süre (s). Yalnız sabit ivmede.
Δx = v₀·t + ½·a·t²
"hızlanırken ne kadar gitti?", "durana kadar kaç metre?"
Yalnız sabit ivmede geçerli kısa yol; Δx = vort·t.
Yön kuralı
"hızlanıyor mu, yavaşlıyor mu?"
Hız ile ivme aynı yönlüyse hızlanma, zıt yönlüyse yavaşlama.
SORU 1 ALIŞTIR
Kurgusal veri: düz bir yolda yürüyen Ece'nin konumu her saniyede ölçülüyor.
t (s)
0
1
2
3
4
x (m)
1
2,5
4
5,5
7
(a) Ece'nin hızını bulunuz. (b) Aynı hızla sürerse t = 10 s'de Ece nerede olur?
v = Δx / Δt; sonra x = x₀ + v·t
Verilenleri yaz: x₀ = 1 m; konumlar her saniyede 1,5 m artıyor; son ölçüm x = 7 m (t = 4 s).
Ne isteniyor? (a) Hız v; (b) t = 10 s'deki konum x.
Tablo eşit zaman aralıklarında eşit artış gösteriyor: sabit hızlı hareket. Önce eğimden hızı, sonra x = x₀ + v·t modelinden konumu bulacağım.
Şekil: hareket haritası: eşit aralıklı noktalar; oklar eşit boyda, + yönde.
Formül harfleriyle: v = Δx / Δt.
Sayılar: v = (7 − 1) / (4 − 0) = 6 / 4 = 1,5 m/s.
Aralıklar eşit olduğu için hangi iki ölçümü seçersen seç aynı eğim çıkar; bu, hızın sabit olduğunun kanıtıdır.
(b) Formül ve sayılar: x = x₀ + v·t = 1 + 1,5 · 10 = 16 m.
x₀ toplanır, çünkü konum soruluyor; yalnız yer değiştirme sorulsaydı v·t = 15 m yeterdi.
(a) v = 1,5 m/s · (b) x = 16 m
Birim: m/s · s = m. Büyüklük: 1,5 m/s bir yürüyüş hızı (1–2 m/s aralığında). Tablo kontrolü: model t = 2'de 1 + 3 = 4 m veriyor; ölçümle aynı.
Konumu yer değiştirme sanmak: t = 10 s'de aldığı yol 15 m'dir; konumu ise 1 m'den başladığı için 16 m'dir.
SORU 2 ALIŞTIR
Bir yürüyüşçü düz bir parkurda + yönde 60 m'yi 40 saniyede yürüyor; sonra geri dönüp 20 m'yi 10 saniyede geri geliyor. (a) Ortalama süratini, (b) ortalama hızını bulunuz.
sürat = alınan yol / süre; v = Δx / Δt
Verilenleri yaz: ileri 60 m (40 s), geri 20 m (10 s); toplam süre 40 + 10 = 50 s.
Ne isteniyor? (a) Ortalama sürat; (b) ortalama hız.
Yol ile yer değiştirmeyi ayrı hesaplayıp aynı süreye böleceğim; sürat yolu, hız oku kullanır.
Şekil: sayı doğrusu; ileri ok 60 m, geri ok 20 m, yer değiştirme oku 0'dan 40 m'ye.
Alınan yol ve yer değiştirme: yol = 60 + 20 = 80 m; Δx = 60 − 20 = 40 m.
son adımı sen tamamla
(a) Sayılar: sürat = 80 / 50 = 1,6 m/s.
(b) Sayılar: v = Δx / Δt = 40 / 50 = 0,8 m/s (+ yönde).
(a) 1,6 m/s · (b) 0,8 m/s
Birim: m/s. Büyüklük: 1,6 m/s tempolu yürüyüş. Kontrol: sürat (1,6) hızdan (0,8) büyük çıktı; geri dönüşlü harekette hep böyledir.
İkisinde de 80 m kullanmak. Hızda pay yer değiştirmedir (40 m); geri dönüş yolu sayacı büyütür ama oku kısaltır.
SORU 3 ALIŞTIR
Şekildeki konum-zaman grafiği, düz bir koşu yolunda koşan bir öğrencinin hareketini gösteriyor. (a) Öğrencinin hızını bulunuz. (b) Hareketi bir cümleyle anlatınız.
x-t'de eğim = hız
Verilenleri yaz: grafik x-t; çizgi (0 s, 12 m) noktasından (4 s, 0 m) noktasına inen bir doğru.
Ne isteniyor? (a) Hız; (b) hareketin sözlü anlatımı.
x-t grafiğinde hızı eğim verir; iki noktanın farklarını oranlayacağım. Yükseklik (12 m) hız değildir.
Formül harfleriyle: eğim = Δx / Δt = v.
Grafik kuralının ilk parçası: x-t'de eğim = hız. Eğim, işaretiyle okunur.
Doğru orijinden geçmiyor; eğim yine de iki noktanın farklarıyla bulunur, tek noktanın değeriyle değil.
(b) Cümle: öğrenci 12 m'den başlayıp − yönde sabit 3 m/s süratle referans noktasına koşuyor; 4. saniyede oraya varıyor.
(a) v = −3 m/s · (b) 12 m'den geriye, sabit süratle referansa doğru
Birim: m / s = m/s. İşaret: konum azalıyor, hız − çıktı; tutarlı. Büyüklük: 3 m/s, hafif tempolu bir koşu (yürüyüşün yaklaşık iki katı); grafikle çelişmiyor.
Doğru aşağı indiği için "yavaşlıyor" demek. Eğim sabitse hız sabittir; alçalma yön bilgisidir, fren bilgisi değildir.
SORU 4 UYGULA
Şekildeki hız-zaman grafiği, raydaki bir aracın hareketini gösteriyor: 3 s boyunca +4 m/s, sonra 2 s boyunca −2 m/s. (a) Yer değiştirmeyi, (b) alınan yolu bulunuz.
v-t'de alan = yer değiştirme (işaretiyle)
Verilenleri yaz: 1. kesim v = +4 m/s, 3 s; 2. kesim v = −2 m/s, 2 s.
Ne isteniyor? (a) Δx; (b) alınan yol.
v-t grafiğinde yer değiştirme alandır; kesim kesim hesaplayıp işaretiyle toplayacağım. Alınan yol için büyüklükleri toplayacağım.
Şekil: grafikte iki dikdörtgen alan: üstte +12 m, eksenin altında −4 m (taralı).
Kesim alanları: A₁ = 4 · 3 = 12 m; A₂ = (−2) · 2 = −4 m.
son adımı sen tamamla
(a) Toplam: Δx = 12 + (−4) = 8 m.
(b) Yol: büyüklüklerin toplamı: 12 + 4 = 16 m.
(a) Δx = 8 m · (b) yol = 16 m
Birim: (m/s) · s = m. Kontrol: yol (16 m) yer değiştirmeden (8 m) büyük; geri dönüşlü harekette olması gereken bu. Araç başlangıcın 8 m ilerisinde bitirdi.
Alt alanı da artı saymak (16 m'yi yer değiştirme sanmak). Eksenin altındaki alan geri gidişi sayar; işaretiyle toplanır.
SORU 5 UYGULA
Tablodaki A ve C araçlarının hızları 3 saniyelik aralıkta veriliyor (kurgusal veri).
araç
ilk hız (m/s)
son hız (m/s)
A
+4
+10
C
−2
−8
(a) Her aracın ivmesini bulunuz. (b) Hangileri hızlanmaktadır? Gerekçesiyle yazınız.
Ne isteniyor? (a) İki ivme; (b) hızlanan araçlar, gerekçeyle.
Önce her aracın Δv'sini işaretiyle bulup süreye böleceğim; sonra hızlanmayı yön kuralıyla karara bağlayacağım.
Formül harfleriyle: a = Δv / Δt = (son hız − ilk hız) / süre.
A için sayılar: a = (10 − 4) / 3 = 2 m/s².
Δv her zaman son − ilk sırasıyla alınır; sıra bozulursa işaret ters çıkar.
C için sayılar: a = (−8 − (−2)) / 3 = −6 / 3 = −2 m/s².ara adımı göster−8 − (−2) = −8 + 2 = −6.
(b) Yön kuralı: A'da hız da ivme de +: hızlanıyor. C'de hız da ivme de −: o da hızlanıyor; sürati 2'den 8'e çıktı.
Hızlanma kararı ivmenin işaretine değil, hız ile ivmenin yönlerinin uyumuna bakar.
(a) A: +2 m/s², C: −2 m/s² · (b) ikisi de hızlanıyor
Birim: (m/s)/s = m/s². Kontrol: A'da da C'de de sürat her saniye 2 m/s artıyor; tabloyla uyumlu. İvmelerin işaretleri hızların yönleriyle aynı; ikisi de hızlanıyor.
C'yi "ivmesi eksi, öyleyse yavaşlıyor" diye okumak. İşaret yön söyler; C'nin sürati büyüyor.
SORU 6 UYGULA
Düz yolda +12 m/s ile giden bir bisikletli frene basıyor ve −3 m/s² sabit ivmeyle yavaşlıyor. (a) Kaç saniyede durur? (b) Durana kadar kaç metre gider?
v = v₀ + a·t; Δx = v₀·t + ½·a·t²
Verilenleri yaz: v₀ = +12 m/s, a = −3 m/s², son hız v = 0 (duruyor).
Ne isteniyor? (a) Durma süresi t; (b) durana kadarki yer değiştirme Δx.
Duracağı an son hızın sıfır olduğu andır: önce v = v₀ + a·t ile süreyi, sonra alan (ya da Δx formülü) ile yolu bulacağım.
buradan sonrasını sen çöz
Şekil: v-t grafiği: 12'den 4. saniyede sıfıra inen doğru; altındaki üçgen alan Δx.
(a) Formül ve sayılar: v = v₀ + a·t → 0 = 12 − 3·t → t = 12 / 3 = 4 s.ara adımı göster0 = 12 − 3t → 3t = 12 → t = 4 s.
Grafikle kontrol: üçgen alan = ½ · 4 · 12 = 24 m; aynı sonuç.
(a) t = 4 s · (b) Δx = 24 m
Birim: m. İşaret: ivme hızla zıt yönlü, araç yavaşlıyor; tutarlı. Büyüklük: ortalama hız (12 + 0)/2 = 6 m/s, 4 saniyede 24 m; şehir içi bisiklet freni için makul.
Uzun ve güvenli yol
Denklemle: önce t'yi bul (v = v₀ + a·t), sonra Δx = v₀·t + ½·a·t² ile yolu hesapla. Her sabit ivmeli soruda çalışır.
Kısa ama koşullu yol
Grafikle: v-t üçgenini çiz; Δx = üçgenin alanı = ½ · taban · yükseklik = ½ · 4 · 12 = 24 m.
Hangisi ne zaman? İkisi de sabit ivme ister. Grafik yolu tek kesimli sorularda daha hızlıdır; hareket parçalıysa yine alan kullanılır ama kesim kesim.
Δx'i 12 · 4 = 48 m almak (son hızla değil ama ilk hızla çarpmak da aynı tuzaktır): bisikletli yol boyunca 12 m/s gitmedi, ortalaması 6 m/s'dir.
SORU 7 DERİNLEŞ · istersen atla
Kurgusal veri: bir öğrencinin koşusunun x-t grafiği şekilde. Ece eğimi hesaplıyor: "Çizgi her karede 1 kare sağa, 1 kare yukarı gidiyor; kareler 40 m olduğuna göre hız 40 / 1 = 40 m/s." Sonuç saçma görünüyor. Ece'nin hangi varsayımı yanlış?
Mantıksız sonuç: hangi varsayım yanlış?
Verilenleri yaz: x-t doğrusu (0, 0)'dan (50 s, 200 m)'ye; ızgara kareleri: yatayda bir kare 10 s, dikeyde bir kare 40 m.
Ne isteniyor? 40 m/s sonucunu doğuran yanlış varsayım ve doğru hız.
Çözüm yolu (eğim alma) doğru; o zaman hatayı varsayımlarda arayacağım. Önce sonucun makul olup olmadığını, sonra ölçeği kontrol edeceğim.
Sonucu sınayalım: 40 m/s = 144 km/h eder; hiçbir koşucu bu hızda koşamaz. Hesap bir yerde bozuk.ara adımı göster40 m/s = 40 · 3,6 = 144 km/h (1 m/s = 3,6 km/h, birim çevirisi).
Makul mü kontrolü çözümün sonunda değil, şüphelendiğin anda da yapılır.
Varsayım avı: Ece "bir kare = 1 s" saydı. Eksen yazısına göre yatayda bir kare 10 s.
Doğru hesap: v = Δx / Δt = 200 / 50 = 4 m/s.
Grafik okumada ilk iş ölçek: bir karenin kaç saniye ve kaç metre olduğunu eksenden okumak.
Ders: eğim karelerle değil eksen değerleriyle hesaplanır; ölçek her grafikte değişir.
Yanlış varsayım: "bir kare = 1 s". Doğrusu: v = 4 m/s
4 m/s, tempolu bir koşu hızıdır (yürüyüşün iki üç katı); 40 m/s ise en hızlı sprinterin bile üç katından fazlaydı. Yeni sonuç hem birim hem bağlam kontrolünden geçiyor.
Sonucu sınamadan geçmek. 40 m/s görür görmez "bir koşucu için makul mü?" diye sormak, hatayı tek adımda yakalar.
SORU 8 DERİNLEŞ · istersen atla
Şekildeki v-t grafiği, raydaki bir aracın 8 saniyelik hareketini gösteriyor: 2 s'de 0'dan 8 m/s'ye çıkıyor, 2 s sabit gidiyor, 2 s'de durup son 2 s'de −4 m/s'ye iniyor. (a) Her kesimin ivmesini bulunuz. (b) Toplam yer değiştirmeyi ve alınan yolu bulunuz.
v-t'de eğim = ivme; alan = yer değiştirme (kesim kesim)
(b) Kesim alanları: üçgen ½ · 2 · 8 = 8 m; dikdörtgen 8 · 2 = 16 m; üçgen ½ · 2 · 8 = 8 m; alt üçgen −½ · 2 · 4 = −4 m.ara adımı gösterSon kesim eksende 0'dan −4'e inen üçgen: alanı ½ · 2 · 4 = 4 m, eksenin altında olduğu için −4 m.
Toplama: Δx = 8 + 16 + 8 − 4 = 28 m; yol = 8 + 16 + 8 + 4 = 36 m.
(a) 4, 0, −4, −2 m/s² · (b) Δx = 28 m, yol = 36 m
Birim: m/s² ve m. Kontrol: yol (36) ≥ |Δx| (28); fark 36 − 28 = 8 m, son kesimin alanının (4 m) iki katı: geri gidilen 4 m yer değiştirmeden düşülür, yola eklenir. İvmelerin işaretleri kesimlerin eğimleriyle uyumlu.
Uzun ve güvenli yol
Alanla: her kesimin alanını geometriden (üçgen, dikdörtgen) bul, işaretiyle topla.
Kısa ama koşullu yol
Ortalama hızla: her kesimde vort = (v_başı + v_sonu)/2, Δx = vort · süre. Örneğin 1. kesim: 4 · 2 = 8 m.
Hangisi ne zaman? İki yol her kesimde aynı sonucu verir; ortalama hız yolu yalnız kesim içinde ivme sabitken kullanılabilir. Eğri v-t'de yalnız alan çalışır.
Üçüncü kesimde "a = −4, öyleyse geri gidiyor" demek. Araç 4–6 s arasında hâlâ + yönde ilerliyor; − yöne geçiş ancak hız ekseni kestikten (6. saniyeden) sonra.
SINAV KÖŞESİ
Bir okul servisi düz bir caddede duraktan kalkıyor. Hız-zaman grafiği şekilde: 4 s'de 10 m/s'ye çıkıyor, 6 s sabit gidiyor, son 2 s'de durup yolcusunu indiriyor (kurgusal veri).Buna göre I. Kalkıştaki ivmenin büyüklüğü, duruştakinden küçüktür. II. Toplam yer değiştirme 100 m'dir. III. 4–10 s arasında servisin ivmesi sıfırdır. yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) II ve III
Soruyu sökme: dört adım
Ne veriliyor? Üç kesimli v-t grafiği: 0→10 m/s (4 s), sabit 10 m/s (6 s), 10→0 (2 s).
Ne isteniyor? Üç yargının doğruluğu; şıklar öncül kümesi.
Hangi kavram? v-t'de eğim = ivme, alan = yer değiştirme; büyüklük |a| ile karşıdır, işaretle değil.
Okuma tuzağı: "büyüklüğü" sözcüğü işaret sormuyor; duruştaki ivme eksi ama büyüklüğü 5.
Her yargıyı grafiğin kendi kuralıyla sınayacağım: I ve III eğimle, II alanla.
II: alan = ½·4·10 + 6·10 + ½·2·10 = 20 + 60 + 10 = 90 m. 100 değil. Yanlış.
III: 4–10 s arasında hız sabit; eğim, yani ivme sıfır. Doğru.
D) I ve III
90 m, 12 saniyelik servis kalkışı için makul: ortalama hız 90 / 12 = 7,5 m/s; 7,5 · 3,6 = 27 km/h eder. Yamuk alan kısa yoldan da çıkar: (12 + 6)/2 · 10 = 90 m; iki hesap aynı.
C'yi seçtiysen: II'de alan yerine 10 · 10 = 100 gibi bir çarpma yaptın; hız yalnız 6 saniye 10 m/s idi.
SINAV KÖŞESİ · a→b→c
Kurgusal veri: bir bisikletli duran hâlden düzgün hızlanıp 3. saniyede 6 m/s'ye ulaşıyor; sonra 3 s bu hızla gidiyor. Grafik şekilde.(a) t = 2 s'deki hızı kaç m/s'dir? (b) İlk 3 saniyedeki ivmesi kaçtır? (c) 6 saniyedeki toplam yer değiştirmesi kaç metredir?
Soruyu sökme: dört adım
Ne veriliyor? İki kesimli v-t: 0→6 m/s (3 s), sabit 6 m/s (3 s).
Ne isteniyor? (a) grafikten okuma; (b) eğim; (c) alan.
Hangi kavram? Grafik kuralı: v-t'de eğim = ivme, alan = yer değiştirme.
Okuma tuzağı: (a)'da 2. saniye ilk kesimin içindedir; sabit 6 m/s henüz başlamadı.
Önce doğrudan oku, sonra tek adım hesap (eğim), en son alanla çıkarım: a→b→c basamakları.
(a) Doğrudan okuma: doğru 0'dan 6'ya düzgün çıkıyor; t = 2 s'de v = 2 · 2 = 4 m/s.
(b) Tek adım hesap: a = eğim = (6 − 0) / 3 = 2 m/s².
(c) Çıkarım: alan = üçgen + dikdörtgen = ½ · 3 · 6 + 6 · 3 = 9 + 18 = 27 m.
(a) 4 m/s · (b) 2 m/s² · (c) 27 m
6 m/s hızlı bir bisiklet; 6 saniyede 27 m şehir içinde makul. Kontrol: ortalama hız 27/6 = 4,5 m/s, en yüksek hızdan küçük; tutarlı.
(c)'de 6 · 6 = 36 m demek: ilk 3 saniyede bisikletli henüz 6 m/s'ye ulaşmamıştı; üçgen bölüm dikdörtgenden küçüktür.