Kolay Hoca, zor dersleri çizgi roman gibi anlatır. Bu kitapta 10. sınıf matematiğinin her konusunu Ece ile robot arkadaşı Volt anlatıyor: kısa sahneler, hareket eden çizimler ve oynayıp deneyebileceğin küçük düzenekler. Konu kafaya yerleşince hemen soruya geçiyorsun.
ECE Lise öğrencisi. Soru sormayı sever, ezberden nefret eder. Senin yerine "bu ne demek şimdi?" diye soran o.
VOLT Kolay Hoca'nın robotu. Bu sefer kareli tahtanın başında: dik üçgen, koordinat düzlemi, iki yönlü tablo, pergel ve cetvelle çizerek anlatır.
Nasıl çalışılır? (3 dakika, bir kez oku)
Telefonu başka odaya koy ya da kitabı telefondan okuyorsan "Rahatsız Etme"yi aç. Telefon masada dururken, kapalı bile olsa, çalışma belleği düşüyor; bu ölçülmüş bir şey, laf değil.
Her bölümde önce tahmin et. Tahminin tutmazsa üzülme: en çok, tutmayan tahminden sonra okunan açıklama akılda kalıyor.
Okumak öğrenmek değildir. "Kendine sor" kutularının cevabını açmadan önce kendin söyle. Testte boş bırakmak serbest; kopya çekmek değil.
Testin ilk 8 sorusu sırayla, kalanı karışık. Sınav da karışık sorar; karışık çözen öğrenci bir ay sonra çok daha fazla hatırlıyor. Testi iki türlü çözebilirsin: Sınav modu (hepsini çöz, sonunda puanını gör) ya da Alıştırma modu (her soruda hemen geri bildirim; yanlış yaparsan ipucu kendiliğinden açılır).
Hesap sorularını defterde çöz. Ekranda göz gezdirmek yetmez; kâğıda yazdığın adım akılda kalır. Her ünitenin "Yazdırılabilir özet" sayfasını çıktı alıp yanında tutabilirsin.
Yanlışların bir deftere düşer. 3 gün sonra kitap sana hatırlatır; o gün yanlışlarına dönüp testi bir daha çözersen konu kalıcı olur. Gece 23'ten sonra yeni konu açma; uykusuz beyin gündüz öğrendiğini kaydedemez.
25 dakika çalış, 5 dakika ara. Bir oturumda bir bölüm yeter. Her gün az, her gün.
Her ünitede 5 adım var, sırayla git
1 · ÇİZGİ ROMANSahneleri oku, çizimler hareket ederken izle. "Kafaya yaz" kutusu o sahnenin tek cümlelik özeti.
2 · 8 SORUHangi formül hangi soruda kullanılır, önce onu gör. Sonra 8 soruyu adım adım çözülmüş olarak incele.
4 · ÇÖZÜMLER30 sorunun hepsi ayrı sayfada, anlatımıyla. Yanlış yaptıklarına mutlaka bak.
5 · KARIŞIK TEKRARÜnite başında çözdüğün 5 soruluk ön testin yeni hâli ve önceki ünitelerle karışık alıştırma. Ne kadar ilerlediğini burada görürsün.
Veli için bir sayfa · çocuğunuza nasıl destek olursunuz (2 dakika)
Bu kitap çocuğunuzun kendi başına çalışabilmesi için yazıldı. Araştırmalar, ailenin ilgisinin başarıyı artırdığını, baskısının ise azalttığını tutarlı biçimde gösteriyor. Yapabileceğiniz en etkili şeyler çoğunlukla küçük şeyler.
Ne yapmayın
Puanı sormayın, kıyaslamayın. "Kaç yaptın?", "Kuzenin kaç yapmış?" soruları kaygıyı artırır; kaygılı öğrenci daha az çalışır.
Yanlışı ayıplamayın. Bu kitapta yanlış bir veri; hangi adımda ayrıldığını gösterir. "Bunu nasıl bilmezsin" cümlesi öğrenmeyi keser.
Süre saymayın. "Üç saat çalıştın mı?" yerine ne çözdüğü önemli. Kitap da dakika değil soru sayar.
Ne yapın
Sessiz bir saat ayarlayın. Telefonun çalışılan odada olmaması, açık olmasa bile, dikkati ölçülebilir biçimde artırır.
Uykuyu koruyun. Gece 23'ten sonra yeni konu verimsizdir; uyku, gündüz öğrenileni kalıcı yapan süreçtir.
Haftada bir 10 dakika "süreç" sohbeti. "Bu hafta neyi anladın, nerede takıldın?" diye sorun ve dinleyin. Çözüm önermek zorunda değilsiniz.
Takıldığı konuyu öğretmenine sordurun. "Öğretmenden yardım alabiliyorum" diyen öğrenciler uluslararası ölçmelerde belirgin biçimde daha başarılı.
Sorularda gereken her sabit ve yaklaşık değer (ör. √2, √3, sin 40°) sorunun içinde verilir. Hesap makinesi gerekmez; gerekiyorsa soruda yazar.
Bu kitap, Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı'nın (2026 sürümü) 10. sınıf kazanımlarına göre hazırlanmıştır.
1. TEMA · GEOMETRİK ŞEKİLLER
Trigonometrik Oranlar ve Üçgenler
Benzer üçgenlerde oranlar değişmez; bu yüzden bir açı kendi oranlarını taşır.
Bir rampanın eğimi, bir direğin gölgesi, iki gemi arasındaki uzaklık: hepsi üçgen sorusudur. Bu ünitede dik üçgendeki dört oranı, birim çemberle geniş açıları, üçgenin yardımcı elemanlarını, alanın nasıl değiştiğini ve sinüs ile kosinüs teoremlerini Ece ve Volt'la öğreneceksin.
Benzer dik üçgenler: dört oran ve özel açılar
MAT.10.1.1 (a–ç) · Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler
Bu bölümde: Benzer dik üçgenlerde kenar oranlarının neden eşit çıktığını göreceksin. Dört oranı adlandıracak ve 30°, 45°, 60° açılarının oranlarını kendin çıkaracaksın.≈ 8 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
hipotenüs — dik açının karşısındaki en uzun kenar · bu değildir: dik açının yanındaki kenarlar
karşı dik kenar — açının tam karşısındaki dik kenar · bu değildir: açının kolu olan dik kenar
trigonometrik oran — iki kenar uzunluğunun bölümü · bu değildir: tek bir kenarın uzunluğu
tümler açılar — toplamı 90° olan iki açı · bu değildir: toplamı 180° olan iki açı
30 saniye
3-4-5 üçgeninin her kenarını 3 katına çıkarıp 9-12-15 yapıyoruz. En küçük açının sinüsü ne olur?
Ne kadar eminsin?
Aynı kalır: 3/5 = 9/15 = 0,6. Kenarlar birlikte büyür, oran değişmez. İlk sahnede üç üçgeni karşılaştıracaksın.
Volt tahtaya üç dik üçgen çizdi: 3-4-5, 6-8-10 ve 9-12-15.
ECE: En büyük üçgenin oranı da en büyük olmalı. Kenarları en uzun o.
VOLT: Kısa cevap: bölelim ve görelim. Karşı kenar bölü hipotenüs: 3/5, 6/10 ve 9/15.
VOLT: Üçü de 0,6. Üçgenler benzer, x açısı aynı; oran da aynı.
Aynı açı hep aynı oranı veriyor. Bu oranlara ad verebiliriz.
ECE: Hangi kenar karşı, hangisi komşu? Hepsi birbirine değiyor.
VOLT: x açısının kolu olan dik kenar komşudur. x'e hiç değmeyen dik kenar karşıdır.
VOLT: Dört oranın adı: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant.
Aynı üçgende öteki dar açıya bakalım: 90° − x.
ECE: Öbür açıya geçince her şey değişir mi?
VOLT: Kısa cevap: roller yer değiştirir. x'in karşısı, 90° − x açısının komşusudur.
VOLT: Bu yüzden sin x = cos(90° − x). Örneğin sin 30° = cos 60°.
Kenarları 6, 8 ve 10 cm olan dik üçgende x, 6 cm'lik kenarın karşısındaki açı. tan x kaçtır?
tan x = karşı / komşu = 6/8 = 3/4. 4/3, komşu bölü karşıdır (cot x). 3/5 ise sin x.
Volt iki özel üçgen kesiyor: eşkenar üçgenin yarısı ve ikizkenar dik üçgen.
ECE: 30°, 45° ve 60° için oranları ezberlemem mi gerekiyor?
VOLT: Gerekmez; bu iki şekilden çıkar. Kenarı 2 olan eşkenar üçgenin yarısında kenarlar 1, √3 ve 2.
VOLT: Dik kenarları 1 olan ikizkenar dik üçgende hipotenüs √2 olur.
Ters görev: tan x = 1 olan bir dik üçgen kur. x'in karşısı ve komşusu hangi çift olabilir?
tan x = karşı / komşu = 1 ise iki dik kenar eşittir: 5/5 = 1. Bu ikizkenar dik üçgendir, x = 45°. 3/4 ve 1/2, 1'e eşit değil.
Bence büyük üçgende sin 30° daha büyüktür; kenarlar uzadıkça oran da büyür.
Ama bu yanlış.
sin 30° bir orandır, uzunluk değildir. Hipotenüsü 2 cm olan üçgende karşı kenar 1 cm, hipotenüsü 10 cm olanda 5 cm. İkisinde de oran 1/2 çıkar.
sin x = karşı / hipotenüs · cos x = komşu / hipotenüs
Kelimelerle: sinüs, açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranıdır. Kosinüs, açının yanındaki dik kenarın hipotenüse oranıdır.Harfler: x: dar açı · karşı: x'in karşısındaki dik kenar · komşu: x'in kolu olan dik kenar · hipotenüs: dik açının karşısındaki kenar
Özel açılar (eşkenar üçgenin yarısından ve ikizkenar dik üçgenden):
x
30°
45°
60°
sin x
1/2
√2/2
√3/2
cos x
√3/2
√2/2
1/2
tan x
√3/3
1
√3
cot x
√3
1
√3/3
Oran bir uzunluk değildir. Benzer üçgenlerde kenarlar birlikte büyür, oran aynı kalır.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden formülü ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Çapa: Hipotenüsü 2 cm olan dik üçgende 30°'nin karşısındaki kenar 1 cm: sin 30° = 1/2.
Varyant 1: yalnızca üçgen büyüdü: hipotenüs 10 cm oldu. sin 30° artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Aynı kalır. Karşı kenar da büyür, 5 cm olur: 5/10 = 1/2. Açı değişmedikçe oran değişmez.
Varyant 2: yalnızca açı 30°'den 60°'ye çıktı. Sinüs artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Artar: sin 60° = √3/2 ≈ 0,87 (√3 ≈ 1,73 alınırsa); bu 1/2'den büyük.
Varyant 3: yalnızca sinüs yerine 60°'nin kosinüsü soruldu (60°, 30°'nin tümleri). Değer artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Aynı kalır: cos 60° = sin 30° = 1/2. Tümler açıda sinüs ile kosinüs yer değiştirir.
Karşı-örnek: oran tanımı yalnızca dik üçgende işler. Kenarı 2 cm olan eşkenar üçgende 60°'nin karşısı 2 cm, en uzun kenar da 2 cm. 2/2 = 1 çıkar; oysa sin 60° = √3/2.
Benzer üçgen tezgâhı
Önce tahmin: üçgeni 3 kat büyütürsem sin x ne olur? Kendine söyle, sonra ölçek kaydırıcısını 3'e getir.
Kâğıtta: x = 37° için ölçek 1, 2 ve 3'te karşı kenar ile hipotenüsü bir tabloya yaz; her satırda karşı / hipotenüs'ü hesapla.
Bir kek tarifi: 2 bardak una 1 bardak şeker. Tarifi 3 katına çıkarırsan 6 bardak una 3 bardak şeker girer; oran yine 1/2.
Tarifte oranı sen seçersin. Dik üçgende oranı açı seçer; açı aynı kaldıkça oran değiştirilemez.
Açı aynıysa üçgen ne kadar büyük olursa olsun dört oran aynıdır.
Verilen temsil cümle: "Bir dik üçgende x dar açısı için sin x = 5/13." Ötekini üret: (1) bu cümleye uyan bir dik üçgen çiz ve üç kenarını yaz; (2) cos x, tan x ve cot x'i bir tabloya yaz.
Cevabı göster
oran
sin x
cos x
tan x
cot x
değer
5/13
12/13
5/12
12/5
Üç temsil yan yana. Cümle: sin x = 5/13. Üçgen: karşı 5, hipotenüs 13; Pisagor ile komşu kenar √(169 − 25) = √144 = 12. Tablo: dört oran.
Kesir neye karşılık? 5/13 bir uzunluk değil, bir orandır. Karşı 10 ve hipotenüs 26 olan üçgen de aynı cümleye uyar.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: kesirdeki 5 ↔ x'in karşısındaki kenar; 13 ↔ hipotenüs.
Bir dik üçgende 30°'lik açının karşısındaki kenar 6 cm. Ece hipotenüsü buluyor. Hangi adımda yanlış yaptı?
Verilen: açı 30°, karşı kenar 6 cm. İstenen: hipotenüs.
Karşı kenar ile hipotenüsün birlikte geçtiği oran sinüstür: sin 30° = karşı / hipotenüs.
sin 30° = 1/2 (özel açı değeri).
Hipotenüs = karşı · sin 30° = 6 · 1/2 = 3 cm.
Sonuç: hipotenüs 3 cm.
Hata 4. adımda (oran). 1/2 = 6/h eşitliğinde h'yi yalnız bırakmak için 6, 1/2'ye bölünür: h = 6 : 1/2 = 12 cm. Çarpınca hipotenüs karşı kenardan kısa çıktı (3 < 6); oysa hipotenüs en uzun kenardır.
Kendine sor: Bir dik üçgende tan x = 1 ise x kaç derecedir? Neden? Cevap
45°. tan x = karşı / komşu = 1 ise iki dik kenar eşittir. İkizkenar dik üçgenin dar açıları 45°'dir.
Özdeşlikler, birim çember ve geniş açılar
MAT.10.1.1 (b–d) · Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler
Bu bölümde: Hipotenüsü 1 olan üçgenden iki özdeşliğe ulaşacaksın. Birim çemberle geniş açıların sinüsünü, kosinüsünü ve tanjantını bulacaksın.≈ 8 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
birim çember — merkezi O, yarıçapı 1 çember · bu değildir: yarıçapı 2 olan çember
yönlü açı — yönü de hesaba katılan açı · bu değildir: saat yönünde ölçülen pozitif açı
özdeşlik — her açı için doğru eşitlik · bu değildir: yalnızca bir açıda doğru denklem
geniş açı — 90° ile 180° arasındaki açı · bu değildir: 90°'den küçük açı
30 saniye
cos 120° artı mı, eksi mi? Hesaplamadan tahmin et.
Ne kadar eminsin?
Eksi. 120°'nin noktası y ekseninin solunda; kosinüs noktanın apsisi olduğu için eksi çıkar. Dördüncü sahnede göreceksin.
Volt hipotenüsü 1 birim olan bir dik üçgen çizdi.
ECE: Hipotenüs 1 ise sinüs neye eşit olur?
VOLT: Kısa cevap: karşı kenarın kendisine. sin x = karşı / 1, yani karşı kenar sin x olur.
VOLT: Aynı yolla komşu kenar cos x olur.
Ece'nin tahtası. Ece çözümü kendisi yazıyor; Volt yalnızca soru soruyor.
ECE: Pisagor'dan cos²x + sin²x = 1 buldum. Her dar açıda doğru.
VOLT: Neden böyle dedin? Nereden biliyorsun?
ECE: Kenarlar cos x ve sin x, hipotenüs 1. Pisagor her dik üçgende geçerli.
Aynı üçgeni, merkezi O ve yarıçapı 1 olan bir çemberin içine koyalım.
ECE: Üçgenin köşesi çemberin üstüne düştü.
VOLT: Bu noktanın koordinatları P(cos x, sin x) olur. Bu çembere birim çember denir.
VOLT: Açıyı x ekseninden saat yönünün tersine ölçeriz. Bu yöne pozitif yön denir.
x dar açı ve sin x = 0,6. sin²x + cos²x = 1 özdeşliğine göre cos x kaçtır?
cos²x = 1 − 0,6² = 1 − 0,36 = 0,64. Dar açıda kosinüs artı: cos x = 0,8. 0,4 diyen 1 − 0,6 yapmış; kareleri unutmuş.
Nokta çemberin üstünde dönüyor ve 120°'ye geliyor.
ECE: 120° için dik üçgen kuramam. Ama 180 − 120 = 60; cos 120° = cos 60° = 1/2.
VOLT: Kısa cevap: sayı doğru, işaret değil. Nokta y ekseninin soluna geçti; apsisi eksi.
VOLT: Tanımı koruyoruz: cos 120° noktanın apsisi, yani −1/2.
60° ve 120° noktaları y eksenine göre simetrik.
ECE: Yükseklikleri aynı, yatay konumları ters.
VOLT: Evet: sin(180° − x) = sin x ve cos(180° − x) = −cos x.
VOLT: 0°'de nokta (1, 0), 90°'de (0, 1), 180°'de (−1, 0) olur.
tan 90° için hangisi doğrudur?
tan 90° = sin 90° / cos 90° = 1/0. Sıfıra bölme yapılamaz; tan 90° tanımsızdır. "Sonsuz" denmez.
Bence cos 120° = cos 60° = 1/2. 180'den çıkarınca oran aynı kalır.
Ama bu yanlış.
kosinüs noktanın apsisidir. 120°'nin noktası y ekseninin solunda, apsisi eksi. Doğrusu: cos 120° = −cos 60° = −1/2. Sinüste işaret değişmez: sin 120° = sin 60° = √3/2.
sin²x + cos²x = 1
Kelimelerle: sinüsün karesi ile kosinüsün karesi toplanınca 1 çıkar. Bu, hipotenüsü 1 olan üçgende Pisagor'dur.Harfler: sin²x: (sin x)² · cos²x: (cos x)²
tan x = sin x / cos x · tan x · cot x = 1
Kelimelerle: tanjant, sinüsün kosinüse bölümüdür. Tanjant ile kotanjant çarpılınca 1 çıkar.Harfler: cot x = cos x / sin x
P(cos x, sin x)
Kelimelerle: birim çemberde x açısının noktasının apsisi cos x, ordinatı sin x'tir.Harfler: P: birim çemberdeki nokta · x: x ekseninden pozitif yönde ölçülen açı
sin(180° − x) = sin x · cos(180° − x) = −cos x
Kelimelerle: y eksenine göre simetrik iki noktanın yüksekliği aynı, apsisleri zıt işaretlidir.Harfler: 180° − x: x'in bütünleri (toplamları 180°)
x
0°
90°
120°
135°
150°
180°
sin x
0
1
√3/2
√2/2
1/2
0
cos x
1
0
−1/2
−√2/2
−√3/2
−1
tan x
0
tanımsız
−√3
−1
−√3/3
0
Yönlü açı: pozitif yön saat yönünün tersidir. Bu kitapta 0° ile 180° arasındaki açıların oranları hesaplanır.
İşaret: dar açıda sin, cos ve tan artıdır. Geniş açıda sin artı, cos ve tan eksidir. tan 90° tanımsızdır.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden formülü ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Çapa: cos 60° = 1/2: 60°'nin noktası P(1/2, √3/2).
Varyant 1: yalnızca açı 120° oldu (180° − 60°). Kosinüs artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Azalır: cos 120° = −1/2. Nokta y eksenine göre simetriğine gitti; apsis işaret değiştirdi.
Varyant 2: yalnızca açı 90° oldu. Kosinüs artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Azalır: cos 90° = 0. Nokta (0, 1), tam y ekseninin üstünde.
Varyant 3: yalnızca kosinüs yerine sinüs soruldu; açı 120°. Değer, çapadaki 1/2'ye göre artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Artar: sin 120° = sin 60° = √3/2 ≈ 0,87 (√3 ≈ 1,73 alınırsa). Yükseklik simetride değişmez.
Karşı-örnek: "180° − x alınca değer aynı kalır" kuralı kosinüste işlemez: cos 30° = √3/2 ama cos 150° = −√3/2.
Yarım birim çember
Önce tahmin: x = 150° olunca cos x artı mı, eksi mi? sin x? Kendine söyle, sonra kaydırıcıyı 150°'ye getir.
Kâğıtta: 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150° ve 180° için noktanın koordinatlarını bir tabloya yaz.
Verilen temsil birim çember: P noktası 135°'lik açının noktası. Ötekini üret: (1) P'nin koordinatlarını yaz; (2) sin 135°, cos 135° ve tan 135°'yi bir tabloya yaz.
Cevabı göster
oran
sin 135°
cos 135°
tan 135°
değer
√2/2
−√2/2
−1
Üç temsil yan yana. Çember: 135° = 180° − 45°; P, 45°'nin noktasının y eksenine göre simetriği. Koordinat: P(−√2/2, √2/2). Tablo: sin artı, cos eksi, tan = sin/cos = −1.
Neye karşılık? Kırmızı düşey parça P'nin yüksekliği, yani sin 135°. Yeşil parça O'nun solunda; bu yüzden cos 135° eksi.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: P'nin yüksekliği ↔ tablodaki sin 135° = √2/2.
x dar açı ve sin x = 3/5. Ece tan x'i buluyor. Hangi adımda yanlış yaptı?
Verilen: sin x = 3/5, x dar açı.
sin²x + cos²x = 1 → cos²x = 1 − 9/25 = 16/25.
x dar açı, kosinüs artı: cos x = 4/5.
tan x = cos x / sin x = (4/5) / (3/5) = 4/3.
Sonuç: tan x = 4/3.
Hata 4. adımda (oran). tan x = sin x / cos x'tir, yani karşı bölü komşu. Doğrusu: tan x = (3/5) / (4/5) = 3/4. Kontrol: 3-4-5 üçgeninde x'in karşısı 3, komşusu 4. Ece'nin bulduğu 4/3, cot x'tir.
Kendi kendini puanla · özdeşlik türet. x dar açı olsun. sin²x + cos²x = 1 özdeşliğinden başlayarak tan²x + 1 = 1/cos²x özdeşliğini türet. Her adımın gerekçesini yaz.
Tam puan cevap şuna benzer
1) Başlangıç: sin²x + cos²x = 1.
2) Dar açıda cos x ≠ 0; iki yanı cos²x'e bölerim: sin²x/cos²x + cos²x/cos²x = 1/cos²x.
3) tan x = sin x / cos x olduğu için sin²x/cos²x = tan²x; ayrıca cos²x/cos²x = 1.
4) Sonuç: tan²x + 1 = 1/cos²x.
Başlangıç özdeşliğini yazdım.
Hangi ifadeye böldüğümü ve onun 0 olmadığını yazdım.
tan x = sin x / cos x tanımını kullandığım adımı gösterdim.
Kendine sor: sin 150° neden artıdır, cos 150° neden eksidir? Cevap
150°'nin noktası x ekseninin üstünde, y ekseninin solunda. Yüksekliği artı: sin 150° = 1/2. Apsisi eksi: cos 150° = −√3/2.
Açıortaylar ve teğet çemberler
MAT.10.1.2 (a–d) · Üçgende Yardımcı Elemanlar
Bu bölümde: Açıortayın iki özelliğini göreceksin: kollara eşit uzaklık ve kenarları orantılı bölme. İç ve dış teğet çemberlerin merkezlerini açıortaylarla bulacaksın.≈ 7 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
açıortay — açıyı iki eş açıya bölen ışın · bu değildir: kenarı iki eşit parçaya bölen
iç teğet çember — üç kenara içten teğet çember · bu değildir: üç köşeden geçen çember
dış açıortay — dış açıyı iki eş açıya bölen · bu değildir: iç açıyı bölen açıortay
dış teğet çember — bir kenara ve uzantılara teğet · bu değildir: üçgenin içinde kalan çember
30 saniye
|AB| = 6, |AC| = 9 olan üçgende A'nın açıortayı BC'yi D'de kesiyor. D nerededir?
Ne kadar eminsin?
B'ye daha yakın. Kısa kenarın (AB) yanındaki parça kısadır. Üçüncü sahnede |BD| = 4, |DC| = 6 çıkacak.
Ece bir kâğıda açı çiziyor ve iki kol üst üste gelecek biçimde katlıyor.
ECE: Kat izi açıyı tam ikiye böldü.
VOLT: Evet, kat izi açıortaydır. Kâğıt katlamak, pergel ve cetvelin işini görür.
Volt açıortay üzerinde bir P noktası seçip iki kola dikme indiriyor.
ECE: İki dikme aynı uzunlukta görünüyor. Tesadüf mü?
VOLT: Kısa cevap: hayır. İki dik üçgen eş; hipotenüsleri ortak, O'daki açıları eşit.
VOLT: Açıortay üzerindeki her nokta, açının iki koluna eşit uzaklıktadır.
|BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 5/10 = 1/2. Kısa kenarın (AB) yanındaki parça kısadır. 1 : 1 diyen açıortayı kenarortay sanmış.
Üç iç açıortayı birlikte çizelim.
ECE: Üçü de aynı noktadan geçti.
VOLT: Bu nokta I, üç kenara eşit uzaklıkta. I merkezli ve üç kenara teğet çembere iç teğet çember denir.
A'daki dış açının açıortayı, BC doğrusunu B'nin ötesinde E'de kesiyor.
ECE: Dış açıortay da bir oran verir mi?
VOLT: Verir: |EB| / |EC| = |AB| / |AC| = 6/9. Burada |EB| = 20, |EC| = 30.
VOLT: Dış açıortay, iç açıortaya diktir.
B ve C'deki dış açıların açıortayları ile A'nın iç açıortayı çiziliyor.
ECE: Üçü de bir noktada kesişti, üstelik üçgenin dışında.
VOLT: Bu nokta dış teğet çemberin merkezi. Çember BC'ye ve öteki iki kenarın uzantılarına teğettir.
Bir P noktası ABC üçgeninin içinde ve üç kenara eşit uzaklıkta. P hangi doğruların kesim noktasıdır?
İç açıortayların. Açıortay üzerindeki nokta iki kola eşit uzak; üç açıortayın kesim noktası üç kenara eşit uzaktır. Bu nokta iç teğet çemberin merkezidir. Kenar orta dikmelerin kesim noktası köşelere eşit uzaktır.
Bence açıortay karşı kenarı tam ortadan böler; açıyı ikiye bölen kenarı da ikiye böler.
Ama bu yanlış.
açıortay açıyı eşit böler, kenarı değil. |AB| = 6, |AC| = 9, |BC| = 10 olan üçgende parçalar 4 ve 6 çıkar. Kenarı ortadan bölen kenarortaydır; ikisi yalnızca |AB| = |AC| ise çakışır.
Açıortayın özelliği: açıortay üzerindeki her nokta, açının iki koluna eşit uzaklıktadır.
|BD| / |DC| = |AB| / |AC|
Kelimelerle: iç açıortayın ayırdığı iki parça, yanlarındaki kenarlarla aynı orandadır.Harfler: D: A'nın iç açıortayının BC'yi kestiği nokta · |BD|, |DC|: iki parça · |AB|, |AC|: A açısının kenarları
|EB| / |EC| = |AB| / |AC|
Kelimelerle: dış açıortay BC doğrusunu uzantıda keser. Uzaklıklar oranı yine kenarlar oranıdır.Harfler: E: A'daki dış açının açıortayının BC doğrusunu kestiği nokta
İç teğet çember: üç iç açıortay tek noktada kesişir. Bu nokta I, üç kenara eşit uzaklıktadır; uzaklık r yarıçaptır.
Dış teğet çember: iki dış açıortay ile üçüncü açının iç açıortayı tek noktada kesişir. Bu nokta bir dış teğet çemberin merkezidir.
Dikkat: iç açıortay karşı kenarı ortadan bölmez. Yalnızca |AB| = |AC| ise böler.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden formülü ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Verilen temsil şekil: ABC üçgeninde [AD], A'nın iç açıortayı (iki eş açı yayla işaretli); |AB| = 8, |AC| = 12, |BD| = 6. Ötekini üret: (1) şekildeki bilgiyi bir orantı denklemi olarak yaz ve |DC|'yi bul; (2) sonucu tek cümleyle söyle.
|BD| = 3k ve |DC| = 2k alırım; 3k + 2k = 5 → k = 1.
|BD| = 3 ve |DC| = 2.
Sonuç: |BD| = 3.
Hata 2. adımda (yardımcı eleman). Orantıda her parça kendi yanındaki kenarla eşleşir: BD, B köşesinde, AB'nin yanında. Doğrusu: |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 4/6 = 2/3 → |BD| = 2, |DC| = 3. Kontrol: kısa kenarın yanındaki parça kısa olmalı.
Kendi kendini puanla · açıortay özelliğini ispatla. xOy açısının açıortayı [Oz üzerinde bir P noktası alalım. P'den kollara indirilen dikmelerin ayakları H ve K olsun. |PH| = |PK| olduğunu ispatla.
Tam puan cevap şuna benzer
1) OHP ve OKP dik üçgenleri: ∠OHP = ∠OKP = 90°.
2) ∠HOP = ∠KOP, çünkü [Oz açıortay. [OP] iki üçgende ortak kenar.
3) Üçgende açılar toplamı 180° olduğu için üçüncü açılar da eşit: ∠OPH = ∠OPK.
İki dik üçgeni adlandırdım ve dik açıları gösterdim.
Eşit açıları ve ortak kenarı yazdım; eşlik kuralının adını söyledim.
Sonucu (|PH| = |PK|) eş üçgenlerden çıkardım.
Kendine sor: İkizkenar bir üçgende (|AB| = |AC|) A'nın açıortayı BC'yi nasıl böler? Neden? Cevap
Tam ortadan. |BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 1. Bu üçgende açıortay, kenarortayla çakışır.
Kenarortay, kenar orta dikme ve yükseklik
MAT.10.1.2 (a–d) · Üçgende Yardımcı Elemanlar
Bu bölümde: Kenarortay, kenar orta dikme ve yüksekliklerin kesim noktalarını tanıyacaksın. Ağırlık merkezinin 2 : 1 bölmesini ve dik üçgendeki kısa yolu kullanacaksın.≈ 7 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
kenarortay — köşeyi karşı kenarın ortasına bağlayan · bu değildir: açıyı ikiye bölen doğru parçası
ağırlık merkezi — üç kenarortayın kesim noktası · bu değildir: kenarortayın orta noktası
kenar orta dikme — kenarın ortasından geçen dik doğru · bu değildir: köşeden inen dikme
yükseklik — köşeden karşı kenara inen dikme · bu değildir: her zaman üçgenin içindeki çizgi
30 saniye
Geniş açılı bir üçgenin üç yüksekliğini (ya da uzantılarını) çizersen kesim noktası nerede olur?
Ne kadar eminsin?
Üçgenin dışında. Dar açılı köşelerden inen iki yükseklik kenar uzantısına düşer. Dördüncü sahnede göreceksin.
Volt her köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlıyor: bunlar kenarortay.
ECE: Üç kenarortay aynı noktada buluştu. Bu nokta kenarortayın ortası mı?
VOLT: Kısa cevap: hayır. Ağırlık merkezi G, kenarortayı köşeden 2, kenardan 1 oranında böler.
VOLT: Kenarortay 9 cm ise G köşeye 6 cm, kenara 3 cm uzaklıktadır.
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayı çizelim: |AB| = 6, |AC| = 8, |BC| = 10.
ECE: |AD| kaç çıkar? Uzun bir hesap mı gerekir?
VOLT: Hesap gerekmez: |AD| = 5, hipotenüsün yarısı. D üç köşeye de 5 birim uzaklıkta.
VOLT: Bu yüzden dik üçgende D, üç köşeden geçen çemberin merkezidir.
Her kenarın orta noktasından o kenara dik bir doğru: kenar orta dikme.
ECE: Üçü yine bir noktada kesişti.
VOLT: Bu nokta O, üç köşeye eşit uzaklıkta. O merkezli ve köşelerden geçen çembere çevrel çember denir.
G ağırlık merkezi, [AD] kenarortay ve |AG| = 10 cm. |GD| kaç cm'dir?
G, kenarortayı köşeden 2, kenardan 1 oranında böler: |AG| = 2 · |GD| → 10 = 2 · |GD| → |GD| = 5 cm. Kenarortayın tamamı 15 cm.
Yükseklik, köşeden karşı kenarın doğrusuna inen dikmedir. Üç üçgende yükseklikleri çizelim.
ECE: Yükseklik hep üçgenin içinde kalır; köşeden aşağı iner.
VOLT: Kısa cevap: geniş açılı üçgende iki yükseklik kenarın uzantısına iner. Kesim noktası dışarıda kalır.
VOLT: Dar açılıda kesim içte, dik açılıda tam dik köşededir.
Ters görev: yüksekliklerinin kesim noktası üçgenin dışında kalan bir üçgen kur. Açıları hangisi olabilir?
20°, 30°, 130°: 130° geniş açı, bu yüzden kesim noktası dışarıda. 50°, 60°, 70° dar açılı (içte); 30°, 60°, 90° dik açılı (dik köşede).
Bence yükseklik her zaman üçgenin içindedir; köşeden karşı kenara iner.
Ama bu yanlış.
yükseklik, köşeden karşı kenarın doğrusuna inen dikmedir. Geniş açılı üçgende iki yükseklik kenarın uzantısına düşer; kesim noktası dışarıda kalır. Dik üçgende iki yükseklik dik kenarların kendisidir; kesim dik köşededir.
Kenarortay: köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlar. Üç kenarortay G'de kesişir; G ağırlık merkezidir.
|AG| = 2 · |GD|
Kelimelerle: ağırlık merkezi kenarortayı köşeden 2, kenardan 1 oranında böler. |AG| kenarortayın üçte ikisidir.Harfler: A: köşe · D: karşı kenarın orta noktası · G: ağırlık merkezi
|AD| = |BC| / 2 (A = 90°, D hipotenüsün orta noktası)
Kelimelerle: dik köşeden hipotenüse çizilen kenarortay, hipotenüsün yarısıdır.Harfler: A: dik açılı köşe · [BC]: hipotenüs · D: hipotenüsün orta noktası
Kenar orta dikme: üçü O'da kesişir. O üç köşeye eşit uzaklıktadır ve çevrel çemberin merkezidir. Dik üçgende O hipotenüsün orta noktasıdır.
Yükseklik: üçü H'de kesişir. Dar açılı üçgende H içte, dik açılıda dik köşede, geniş açılıda dıştadır.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden formülü ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Çapa: Dik üçgende hipotenüs 10 cm: hipotenüse ait kenarortay 10/2 = 5 cm.
Varyant 1: yalnızca hipotenüs 26 cm oldu. Kenarortay artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Artar: 26/2 = 13 cm. Kenarortay hipotenüsün yarısıdır.
Varyant 2: yalnızca dik kenarlar değişti; hipotenüs yine 10 cm. Kenarortay artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Aynı kalır: 5 cm. Hipotenüse ait kenarortay yalnızca hipotenüse bağlıdır.
Varyant 3: yalnızca sorulan uzunluk değişti: dik köşeden G ağırlık merkezine uzaklık soruluyor. Değer 5 cm'ye göre artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Azalır: G kenarortayı 2 : 1 böler. Dik köşeden G'ye uzaklık (2/3) · 5 = 10/3 ≈ 3,33 cm.
Karşı-örnek: kural yalnızca dik üçgende işler. Kenarı 10 cm olan eşkenar üçgende kenarortay 5√3 ≈ 8,65 cm (√3 ≈ 1,73 alınırsa); 5 cm değil.
Üçgen sürükleyici: yardımcı elemanlar
Önce tahmin: üçgeni geniş açılı yaparsan yüksekliklerin kesim noktası nereye gider? Kendine söyle, sonra "Geniş" düğmesine bas ya da bir köşeyi sürükle.
Bir eleman seç. Köşeleri parmağınla ya da fareyle sürükleyebilirsin; hazır üçgen düğmeleri de var.
Verilen temsil şekil: ABC üçgeninin her köşesinden karşı kenarın doğrusuna dik bir doğru çizilmiş (dik açılar işaretli). Üç doğru "?" noktasında kesişiyor. Ötekini üret: (1) bu doğrular hangi yardımcı elemanlar? (2) "?" noktası için bir cümle yaz.
Cevabı göster
Ad: köşeden karşı kenarın doğrusuna inen dikme yüksekliktir. "?" noktası yüksekliklerin kesim noktası H'dir.
Cümle: B açısı geniş olduğu için A'dan ve C'den inen yükseklikler kenarların uzantısına düşer; H üçgenin dışındadır.
Neye karşılık? Şekildeki dik açı işaretleri ↔ "yükseklik" sözcüğü. Doğrular orta noktalardan geçseydi kenarortay olurdu.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: kesikli uzantılar ↔ cümledeki "kenarların uzantısına düşer".
ABC dik üçgen, A = 90° ve |BC| = 18 cm. [AD] hipotenüse ait kenarortay, G ağırlık merkezi. Ece |AG|'yi buluyor. Hangi adımda yanlış yaptı?
D, BC'nin orta noktası: |BD| = |DC| = 9 cm.
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısıdır: |AD| = 9 cm.
G kenarortayı iki eş parçaya böler: |AG| = |GD|.
|AG| = 9 / 2 = 4,5 cm.
Sonuç: |AG| = 4,5 cm.
Hata 3. adımda (yardımcı eleman). Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden 2, kenardan 1 oranında böler. Doğrusu: |AG| = (2/3) · 9 = 6 cm ve |GD| = 3 cm. Kontrol: 6 + 3 = 9, 6 = 2 · 3.
Derine in (isteğe bağlı): Euler doğrusu
Programda zenginleştirmedir; testte yok. Çevrel çemberin merkezi O, ağırlık merkezi G ve diklik merkezi H her üçgende aynı doğrunun üstündedir. Üstelik |GH| = 2 · |OG|.
Bu bölümün dar açılı üçgeninde de öyle: üç nokta bir doğru üzerinde; G, O ile H arasında ve H'ye iki kat uzak.
Kendine sor: Dik üçgende çevrel çemberin merkezi nerededir? Neden? Cevap
Hipotenüsün orta noktasında. Hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısı olduğu için orta nokta üç köşeye eşit uzaklıktadır.
Üçgenin alanı nasıl değişir?
MAT.10.1.3 (a–d) · Üçgenin Alanı
Bu bölümde: Taban ve yükseklik değişince alanın nasıl değiştiğini göreceksin. Paralel doğrular arasındaki eş alanları, benzerlikteki k² kuralını ve sinüsle alan bağıntısını kullanacaksın.≈ 9 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
yükseklik — köşeden taban doğrusuna dik uzaklık · bu değildir: eğik kenarın uzunluğu
benzerlik oranı — benzer üçgenlerde kenarların oranı · bu değildir: iki alanın oranı
paralel doğrular — hiç kesişmeyen iki doğru · bu değildir: aynı noktadan geçen doğrular
alan — üçgenin kapladığı düzlem parçası · bu değildir: kenar uzunluklarının toplamı
30 saniye
Bir üçgenin bütün kenarlarını 2 katına çıkarırsan alanı ne olur?
Ne kadar eminsin?
4 katı olur. Büyük üçgene küçüğünden 4 tane sığar; dördüncü sahnede sayacaksın.
Ortak A köşesi, tabanlar aynı doğruda: ABD ve ADC üçgenleri.
ECE: Hangi üçgenin alanı büyük? Şekilleri çok farklı.
VOLT: Yükseklikleri aynı: ikisinde de A'dan inen dikme 4 birim. Alanlar tabanlarla orantılı: 8 ve 12.
VOLT: D orta nokta olsaydı iki alan eşit olurdu. Kenarortay alanı ikiye böler.
Tepe noktası, tabana paralel bir doğru üzerinde kayıyor.
ECE: Üçgen yamuldukça alanı küçülüyor gibi.
VOLT: Kısa cevap: alan değişmez. Taban 6, yükseklik iki paralel arasındaki uzaklık, yani 4. Alan hep 12.
İki üçgen aynı tabanı ve aynı paralel doğruyu paylaşıyor: ABC ve ABD.
ECE: Alanları eşit. Peki kesişince oluşan iki küçük üçgen?
VOLT: Ortak parça ABE'yi iki alandan da çıkar. Kalanlar eşit kalır: A(AED) = A(BEC).
ABC üçgeninde D, [BC]'nin orta noktası ve A(ABC) = 30 cm². A(ABD) kaç cm²'dir?
[AD] kenarortay. ABD ile ADC'nin yükseklikleri ortak, tabanları eşit (|BD| = |DC|). Alanları eşit: 30 / 2 = 15 cm². Kenarortay alanı ikiye böler.
Volt küçük bir üçgeni kalıp olarak kullanıyor.
ECE: Kenarlar 2 katına çıkınca alan da 2 katına çıkar.
VOLT: Sayalım: kenarları 2 katı olan üçgene 4 kalıp sığıyor, 3 katı olana 9 kalıp.
VOLT: Benzerlik oranı k ise alanlar oranı k² olur.
Yüksekliği bilmiyoruz; ama iki kenar ve aradaki açı elimizde.
ECE: Yükseklik yoksa alan bulunamaz.
VOLT: Yükseklik sinüsten gelir: h = b · sin C. Alan = ½ · a · b · sin C.
VOLT: C geniş açı olsa da çalışır; çünkü sin(180° − C) = sin C.
İki kenarı 6 cm ve 10 cm, bu kenarlar arasındaki açı 30° olan üçgenin alanı kaç cm²'dir?
A = ½ · a · b · sin C = ½ · 6 · 10 · 1/2 = 15 cm² (sin 30° = 1/2, özel açı değeri). 30 diyen ½'yi unutmuş; 60 diyen iki yarımı da unutmuş.
Bence kenarlar 2 katına çıkınca alan da 2 katına çıkar.
Ama bu yanlış.
alan iki yönde birden büyür: taban da yükseklik de 2 katı olur. Taban 4, yükseklik 3 iken alan 6; taban 8, yükseklik 6 iken alan 24. 24, 6'nın 4 katıdır. Benzerlik oranı k ise alan k² katıdır.
A = ½ · taban · yükseklik
Kelimelerle: alan, tabanla o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.Harfler: A: alan · yükseklik: karşı köşeden taban doğrusuna dik uzaklık
Yükseklikler eşitse alanlar oranı tabanlar oranıdır. Tabanlar eşitse alanlar oranı yükseklikler oranıdır. Kenarortay alanı ikiye böler.
Paralel doğrular arasında tabanı ortak üçgenlerin alanları eşittir. Kesişince ortak olmayan parçaların alanları da eşit kalır.
A₁ / A₂ = k²
Kelimelerle: benzer iki üçgende alanlar oranı, benzerlik oranının karesidir.Harfler: k: benzerlik oranı (kenarlar oranı) · A₁, A₂: iki üçgenin alanı
A = ½ · a · b · sin C
Kelimelerle: iki kenarın çarpımının yarısını, bu kenarların arasındaki açının sinüsüyle çarp.Harfler: a, b: iki kenar · C: a ile b arasındaki açı (dar ya da geniş)
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden formülü ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Çapa: a = 6 cm, b = 8 cm, aradaki açı C = 30°: A = ½ · 6 · 8 · sin 30° = ½ · 6 · 8 · 1/2 = 12 cm².
Varyant 1: yalnızca C açısı 150° oldu. Alan artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Aynı kalır: sin 150° = sin 30° = 1/2, alan yine 12 cm². Geniş açıda da bağıntı çalışır.
Varyant 2: yalnızca C açısı 90° oldu. Alan artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Artar: sin 90° = 1, A = ½ · 6 · 8 · 1 = 24 cm². Dar açıda sinüs 90°'ye kadar büyür.
Varyant 3: yalnızca a kenarı 2 katına çıktı: a = 12 cm. Alan artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Artar, 2 katına çıkar: ½ · 12 · 8 · 1/2 = 24 cm². Tek kenar 2 katı olunca alan 2 katı; bütün kenarlar 2 katı olsaydı 4 katı olurdu.
Karşı-örnek: C, a ile b'nin arasındaki açı olmalı. Dik kenarları 3 ve 4, hipotenüsü 5 olan üçgende 3 ile 5'i alıp 90°'yi kullanırsan ½ · 3 · 5 · 1 = 7,5 çıkar. Oysa alan ½ · 3 · 4 = 6; 90°, 3 ile 5'in arasındaki açı değil.
Paralel doğru rayı
Önce tahmin: tepe noktası paralel doğru üzerinde sağa kayınca alan artar mı, azalır mı, aynı mı kalır? Kendine söyle, sonra dene.
Kâğıtta: taban 6 cm, yükseklik 4 cm olan üç farklı üçgen çiz (tepe solda, ortada, sağda); üçünün alanını hesapla.
Bir fotoğrafı eni ve boyu 2 katına çıkacak biçimde büyüt. Kâğıtta kapladığı yer 4 katı olur; küçük fotoğraftan 4 tanesi büyüğün üstüne dizilir.
Fotoğrafı yalnızca eninden çekip uzatabilirsin; o zaman şekil benzer kalmaz ve alan yalnızca 2 katı olur.
Benzer büyütmede alan iki yönde birden büyür: kenar k katıysa alan k² katıdır.
Verilen temsil tablo: yüksekliği 6 cm olan dört üçgenin tabanları 2, 4, 6 ve 8 cm. Ötekini üret: (1) alanları hesapla ve taban–alan grafiğini çiz; (2) alanı tabana bağlayan formülü yaz.
Cevabı göster
Taban (cm)
2
4
6
8
Alan (cm²)
6
12
18
24
Üç temsil yan yana. Tablo: alan = ½ · taban · 6. Grafik: noktalar orijinden geçen bir doğru üzerinde. Formül: A = 3 · taban.
Eğim neye karşılık? Eğim 3, yüksekliğin yarısıdır: taban 1 cm uzayınca alan 3 cm² artar.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: tablodaki (4, 12) sütunu ↔ grafikteki (4, 12) noktası.
Üçgen biçimli küçük bir tabelanın ön yüzünün alanı 0,5 m²; boyamak için 1 kutu boya yetiyor. Aynı biçimde, bütün kenarları 3 katı olan büyük bir tabela yapılacak. Ece gereken boyayı hesaplıyor. Hangi adımda yanlış yaptı?
Küçük tabela: alan 0,5 m², 1 kutu boya.
Büyük tabela küçüğe benzer; benzerlik oranı k = 3.
Alan da 3 katı olur: 0,5 · 3 = 1,5 m².
1,5 m² için 3 kutu boya gerekir.
Sonuç: 3 kutu boya.
Hata 3. adımda (oran). Benzerlik oranı k ise alanlar oranı k² = 9'dur. Doğrusu: 0,5 · 9 = 4,5 m², yani 9 kutu boya. 3 kutuyla tabelanın yalnızca üçte biri boyanır.
Derine in (isteğe bağlı): Heron bağıntısı
Programda "başka alan bağıntıları" zenginleştirmedir; testte yok. Üç kenarı a, b, c olan üçgende u = (a + b + c) / 2 olsun. Alan: A = √(u · (u − a) · (u − b) · (u − c)).
Örnek: kenarları 3, 4, 5 olan üçgende u = 6. A = √(6 · 3 · 2 · 1) = √36 = 6. Dik kenarlarla bulunan ½ · 3 · 4 = 6 ile aynı.
Kendine sor: Aynı tabanlı iki üçgenin yükseklikleri 4 cm ve 10 cm. Alanları oranı kaçtır? Cevap
4/10 = 2/5. Taban aynıysa alanlar oranı yükseklikler oranıdır.
Sinüs ve kosinüs teoremleri
MAT.10.1.4 (a–b) · Sinüs ve Kosinüs Teoremleri
Bu bölümde: Sinüs teoremini alan bağıntısından doğrulayacak, kosinüs teoremini ek çizim ve Pisagor ile ispatlayacaksın. Hangi soruda hangi teoremi kullanacağına karar vereceksin.≈ 10 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
sinüs teoremi — kenarlar karşı açıların sinüsleriyle orantılı · bu değildir: yalnızca dik üçgende geçen kural
kosinüs teoremi — Pisagor'un her üçgene genişlemiş hâli · bu değildir: yalnızca dik üçgende geçen kural
ek çizim — ispat için eklenen yardımcı çizgi · bu değildir: soruda verilen kenar
ispat — genel doğruluğu adım adım göstermek · bu değildir: birkaç örnekte denemek
30 saniye
Kenarları 5 cm ve 8 cm, bu kenarlar arasındaki açı 60° olan üçgenin üçüncü kenarı için hangisi doğru?
Ne kadar eminsin?
7 cm. Açı 90° değil; Pisagor bu üçgende işlemez. Üçüncü sahnede kuracağımız kosinüs teoremi 49 = 7² verir.
Volt aynı üçgenin alanını üç yoldan yazıyor.
ECE: Üç ifade de aynı alanı mı verir?
VOLT: Verir; alan tek bir sayıdır.
VOLT: Hepsini ½·a·b·c'ye böl: sin A / a = sin B / b = sin C / c. Bu sinüs teoremidir.
Kosinüs teoremi için ek çizim: C'den AB'ye bir yükseklik indiriyoruz.
ECE: Bu dikme bize ne kazandırdı?
VOLT: İki dik üçgen. Soldakinde |AH| = b · cos A ve |CH| = b · sin A olur.
VOLT: Sağdakinde |HB| = c − b · cos A olur.
Ece sağdaki dik üçgende Pisagor'u yazıyor.
ECE: Kareleri açınca sin²A + cos²A çıktı. O 1'e eşitti.
VOLT: Evet, kalan şu: a² = b² + c² − 2bc · cos A. Bu kosinüs teoremidir.
b = 3, c = 5 ve aradaki açı A = 60° ise a² kaçtır?
a² = b² + c² − 2bc · cos A = 9 + 25 − 2 · 3 · 5 · 1/2 = 34 − 15 = 19 (cos 60° = 1/2, özel açı değeri). 34 diyen Pisagor'u uygulamış; 49 diyen çıkarmak yerine toplamış.
b ve c aynı kalıyor; A açısı büyüyor.
ECE: A = 90° olunca cos 90° = 0. Son terim siliniyor.
VOLT: Evet: a² = b² + c², Pisagor. Kosinüs teoremi, Pisagor'un her üçgene genişlemiş hâlidir.
VOLT: A geniş açıysa cos A eksi; a² daha büyük çıkar.
Soru geldiğinde hangi teoremi seçeceğiz?
ECE: Her soruda iki teoremi de denemem mi gerekir?
VOLT: Gerekmez. İki kenar ve aradaki açı ya da üç kenar verildiyse kosinüs teoremi.
VOLT: İki açı ve bir kenar verildiyse sinüs teoremi.
Bir üçgende A = 45°, B = 60° ve a = 4 cm verilmiş. b'yi bulmak için hangisi en uygun?
İki açı ve bir kenar verilmiş: sinüs teoremi. a / sin A = b / sin B → 4 / sin 45° = b / sin 60°. Kosinüs teoremi için iki kenar gerekirdi; üçgen dik olmadığı için Pisagor da işlemez.
Bence kosinüs teoremi Pisagor'un başka adıdır; dik üçgen ister.
Ama bu yanlış.
kosinüs teoremi her üçgende geçerlidir. Dik üçgende cos 90° = 0 olur, son terim kaybolur ve Pisagor'a iner. Kenarları 5 ve 8 cm, aradaki açı 60° olan üçgende üçüncü kenar 7 cm; Pisagor'la bulunan √89 yanlıştır.
a / sin A = b / sin B = c / sin C
Kelimelerle: her kenar, karşısındaki açının sinüsüyle aynı orandadır.Harfler: a, b, c: kenarlar · A, B, C: bu kenarların karşısındaki açılar
a² = b² + c² − 2 · b · c · cos A
Kelimelerle: a'nın karesini bulmak için b² + c²'den 2 · b · c · cos A çıkarılır. A, a kenarının karşısındaki açıdır.Harfler: a: A açısının karşısındaki kenar · b, c: A açısını oluşturan kenarlar
cos A = (b² + c² − a²) / (2 · b · c)
Kelimelerle: üç kenar biliniyorsa açının kosinüsü bu kesirle bulunur.Harfler: aynı harfler; A, a'nın karşısındaki açı
Hangi teorem? İki kenar ve aradaki açı ya da üç kenar → kosinüs teoremi. İki açı ve bir kenar → sinüs teoremi.
A = 90° iken cos A = 0 olur ve kosinüs teoremi Pisagor'a iner. A geniş açıysa cos A eksidir.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden formülü ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Çapa: a = 5 cm, b = 8 cm, C = 60°: c² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 1/2 = 49, c = 7 cm.
Varyant 1: yalnızca C açısı 90° oldu. c artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Artar: cos 90° = 0, c² = 25 + 64 = 89, c = √89 ≈ 9,43 cm. Bu, Pisagor'dur.
Varyant 2: yalnızca C açısı 120° oldu. c artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Artar: cos 120° = −1/2, c² = 25 + 64 + 40 = 129, c = √129 ≈ 11,36 cm. Eksi kosinüs çıkarmayı toplamaya çevirir.
Varyant 3: yalnızca a ile b yer değiştirdi: a = 8 cm, b = 5 cm. c artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Aynı kalır: 64 + 25 − 40 = 49, c = 7 cm. Formülde a ile b'nin yeri önemli değildir.
Karşı-örnek: c² = a² + b² (Pisagor) yalnızca C = 90° iken doğrudur. C = 60° iken c² = 89 değil, 49 çıkar.
Verilen temsil cümle: "Bir parkta K ağacından L ağacına 15 m, K'dan M ağacına 8 m. KL ile KM doğruları arasındaki açı 60°." Ötekini üret: (1) durumu bir üçgen olarak çiz; (2) |LM| için bir denklem yaz ve çöz.
Cevabı göster
Denklem: iki kenar ve aradaki açı → kosinüs teoremi: |LM|² = 15² + 8² − 2 · 15 · 8 · cos 60° = 225 + 64 − 120 = 169 → |LM| = 13 m.
Cümle: L ile M ağaçları arası 13 m.
Neye karşılık? Cümledeki "arasındaki açı" ↔ şekilde K köşesindeki 60° ↔ denklemdeki cos 60°. Açı K'da olduğu için karşısındaki kenar LM bulunur.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: şekildeki "?" kenarı ↔ denklemin sol yanı |LM|².
ABC üçgeninde b = 5, c = 16 ve A = 120°. Ece a'yı buluyor. Hangi adımda yanlış yaptı?
İki kenar ve aradaki açı verilmiş: kosinüs teoremi.
Hata 3. adımda (işaret). 120° geniş açı; kosinüsü eksi: cos 120° = −cos 60° = −1/2. Doğrusu: a² = 25 + 256 + 80 = 361, a = 19. Makul mü? A en büyük açı, karşısındaki a en uzun kenar olmalı; √201 ≈ 14,2 ise c = 16'dan kısa kalırdı.
Kendi kendini puanla · kosinüs teoremini ispatla. Dar açılı bir ABC üçgeninde a² = b² + c² − 2bc · cos A eşitliğini bir ek çizim yaparak ispatla. Her adımda hangi bilgiyi kullandığını yaz.
Tam puan cevap şuna benzer
1) Ek çizim: C'den AB'ye dikme; ayağı H.
2) ACH dik üçgeninde kosinüs ve sinüs tanımı: |AH| = b · cos A, |CH| = b · sin A. Buradan |HB| = c − b · cos A.
3) CHB dik üçgeninde Pisagor: a² = (b · sin A)² + (c − b · cos A)².
4) Kareleri aç: a² = b² · sin²A + c² − 2bc · cos A + b² · cos²A = b² · (sin²A + cos²A) + c² − 2bc · cos A.
5) sin²A + cos²A = 1 olduğu için a² = b² + c² − 2bc · cos A.
Ek çizimi (yüksekliği) ve ayak noktasını adlandırdım.
İki dik üçgende sinüs–kosinüs tanımını ve Pisagor'u nerede kullandığımı yazdım.
Derine in (isteğe bağlı): oran neden hep aynı sayı?
Programda yazmıyor; testte yok. a / sin A oranı, üçgenin köşelerinden geçen çemberin çapına eşittir: a / sin A = 2R. R, çevrel çemberin yarıçapıdır.
Bu yüzden aynı üçgenin üç oranı da aynı sayıyı verir.
Kendine sor: Üç kenarı verilen bir üçgenin en büyük açısını hangi teoremle bulursun? Neden sinüs teoremiyle değil? Cevap
Kosinüs teoremiyle: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc). Sinüs teoremi en az bir açı ister; burada hiç açı verilmemiş.
Soru: aşağıdaki cümlelerden hangileri her üçgen için (ya da yazılan türdeki her üçgen için) doğrudur? Doğru bulduğun hücrelere dokun, sonra kontrol et.
Ağırlık merkezi her üçgende üçgenin içindedir.
İç teğet çemberin merkezi her üçgende üçgenin içindedir.
Çevrel çemberin merkezi her üçgende üçgenin içindedir.
Yüksekliklerin kesim noktası her üçgende üçgenin içindedir.
Dik üçgende yüksekliklerin kesim noktası dik köşedir.
Dik üçgende çevrel çemberin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır.
Ağırlık merkezi kenarortayı iki eş parçaya böler.
İç açıortay karşı kenarı her zaman iki eş parçaya böler.
Dış teğet çemberin merkezi üçgenin içindedir.
Neden? (kontrol ettikten sonra aç)
Doğrular: 1 ve 2 (G ve I her üçgende içte), 5 (dik kenarlar birer yükseklik, dik köşede kesişir), 6 (hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısı).
Yanlışlar: 3 ve 4 geniş açılı üçgende dışarıda kalır. 7: G kenarortayı 2 : 1 böler. 8: açıortay yalnızca iki kenar eşitse ortadan böler. 9: dış teğet çember üçgenin dışındadır.
Bugün öğrendiğim en önemli şey (oran, birim çember, yardımcı eleman ya da teorem hakkında tek cümle):
Hâlâ bulanık olan (geniş açıda işaret mi, açıortay oranı mı, hangi teorem mi?):
Kendi örneğim (çevrende bir üçgen ve onda ölçebileceğin bir açı ya da kenar):
Hangi formül, hangi soruda?
Soru hangi kelimeyi söylüyorsa o satıra bak.
Formül / kural
Ne zaman kullanılır
Harfler / anlamı
sin x = karşı / hipotenüs · cos x = komşu / hipotenüs
"dik üçgen", "hipotenüs verilmiş", "eğik yüzey"
karşı: açının karşısındaki dik kenar · komşu: açının kolu olan dik kenar
tan x = karşı / komşu · cot x = komşu / karşı
"iki dik kenar", "gölge", "direk"
tan ile cot birbirinin tersi
sin x = cos(90° − x); özel açı tablosu
"30°, 45°, 60°", "tümler açı"
sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2 …
sin²x + cos²x = 1 · tan x = sin x / cos x · tan x · cot x = 1
"sin x verilmiş, cos x isteniyor", "özdeşlik"
dar açıda hepsi artı
P(cos x, sin x) · sin(180° − x) = sin x · cos(180° − x) = −cos x
"geniş açı", "120°, 135°, 150°", "birim çember"
geniş açıda sin artı, cos ve tan eksi; tan 90° tanımsız
Bir dik üçgende hipotenüs 10 cm ve dar açılardan biri 30°. Bu açının karşısındaki ve komşusundaki dik kenarları bulunuz. (√3 ≈ 1,73 alınız)
sin x = karşı / hipotenüs · cos x = komşu / hipotenüs
Verilenleri yaz: hipotenüs = 10 cm, x = 30°.
Ne isteniyor? karşı ve komşu dik kenar.
Hipotenüs ve bir açı verilmiş: karşı için sinüs, komşu için kosinüs. Temsil: şekil seçtim; hipotenüsü ve açıyı üçgenin üstüne yazınca hangi kenarın karşı olduğu görünür.
Kural harfleriyle: sin 30° = karşı / 10 ve cos 30° = komşu / 10.
Karşı: sin 30° = 1/2 (özel açı değeri) → 1/2 = karşı / 10 → karşı = 10 · 1/2 = 5 cm.
Karşı kenarı yalnız bırakmak için eşitliğin iki yanı 10 ile çarpılır.
Komşu: cos 30° = √3/2 (özel açı değeri) → komşu = 10 · √3/2 = 5√3 ≈ 5 · 1,73 = 8,65 cm.
Kosinüs, komşu kenar ile hipotenüsü bağlar.
karşı = 5 cm · komşu = 5√3 ≈ 8,65 cm
Yerine koyarak: 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10²; Pisagor tutuyor. İki dik kenar da hipotenüsten kısa: 5 < 8,65 < 10.
Karşı ile komşuyu karıştırmak. 30°'nin karşısındaki kenar kısa olandır; büyük açının karşısında büyük kenar bulunur.
SORU 2 ALIŞTIR
x dar açı ve sin x = 8/17. cos x, tan x ve cot x'i bulunuz.
sin²x + cos²x = 1 · tan x = sin x / cos x · tan x · cot x = 1
Verilenleri yaz: sin x = 8/17, x dar açı.
Ne isteniyor? cos x, tan x ve cot x.
sin x'ten cos x'e özdeşlikle geç, sonra tanjant ve kotanjantı sin ile cos'tan kur. Temsil: denklem; istersen karşı 8, hipotenüs 17 olan bir üçgen çiz.
Kural harfleriyle: sin²x + cos²x = 1.
cos x: cos²x = 1 − 64/289 = 225/289 → cos x = 15/17 (dar açıda artı).
son adımı sen tamamla
tan x: tan x = sin x / cos x = (8/17) / (15/17) = 8/15.
Özdeşlikle: cos²x = 1 − 64/289 = 225/289, cos x = 15/17; sonra tan ve cot.
Kısa ama koşullu yol
Üçgen çiz: karşı 8, hipotenüs 17. Pisagor ile komşu √(289 − 64) = 15. Oranları oku: cos x = 15/17, tan x = 8/15, cot x = 15/8.
Hangisi ne zaman? Kısa yol yalnızca x dar açıyken işler. Geniş açıda üçgen çizilemez; işareti birim çemberden alırsın.
cos x = 1 − sin x = 9/17 yazmak. Özdeşlik karelerle kurulur: sin²x + cos²x = 1.
SORU 3 ALIŞTIR
sin 120° · cos 150° + tan 135° ifadesinin değerini bulunuz.
sin(180° − x) = sin x · cos(180° − x) = −cos x · tan x = sin x / cos x
Verilenleri yaz: üç geniş açı: 120°, 150° ve 135°.
Ne isteniyor? ifadenin değeri.
Her geniş açıyı bütünlerine (180° − x) indir; işareti birim çemberden al. Temsil: birim çember; üç nokta da y ekseninin solunda, kosinüs ve tanjant eksi.
Kural harfleriyle: sin(180° − x) = sin x, cos(180° − x) = −cos x, tan x = sin x / cos x.
sin 120°: 180° − 120° = 60° → sin 120° = sin 60° = √3/2.
Sinüs noktanın yüksekliğidir; y eksenine göre simetrik noktalarda aynıdır.
cos 150°: 180° − 150° = 30° → cos 150° = −cos 30° = −√3/2.
Kosinüs noktanın apsisidir; geniş açıda nokta y ekseninin solunda, apsis eksi.
tan 135°: tan 135° = sin 135° / cos 135° = (√2/2) / (−√2/2) = −1.
İki açıortay teoremi de aynı oranı (|AB| : |AC|) verir; iç açıortay kenarın içinde, dış açıortay uzantısında böler. Temsil: şekil; E'nin hangi uçta olduğunu şekil söyler.
Kural harfleriyle: iç açıortay |BD| / |DC| = |AB| / |AC|; dış açıortay |EB| / |EC| = |AB| / |AC|. Oran 6 : 9 = 2 : 3.
Yerine koyarak: 4/6 = 6/9 ✓ ve 20/30 = 6/9 ✓. |BD| + |DC| = 10 ✓. E kısa kenar AB'nin tarafında ✓.
Oranı ters kurmak: |BD| / |DC| = 9/6 yazarsan |BD| = 6 çıkar; kısa kenarın yanındaki parça uzun olur.
SORU 5 UYGULA
Ece kenarları 2 cm, 3 cm ve 6 cm olan bir üçgenin en büyük açısını kosinüs teoremiyle buluyor: cos C = (2² + 3² − 6²) / (2 · 2 · 3) = −23/12. (a) Bu sonuç neden mantıksızdır? (b) Hangi varsayım yanlıştır?
cos C = (a² + b² − c²) / (2 · a · b) · −1 ≤ cos C ≤ 1
Verilenleri yaz: kenarlar 2, 3 ve 6 cm; Ece'nin sonucu cos C = −23/12.
Ne isteniyor? (a) neden mantıksız; (b) yanlış varsayım.
Mantıksız sonuç: yol doğru görünüyor ama sonuç tanımın dışında. Önce hesabı, sonra aralığı, en son varsayımı denetle. Temsil: denklem; istersen 2 ve 3 cm'lik iki çubuğu 6 cm'lik bir tabanın uçlarına koymayı dene.
(a) Aralık kontrolü: her açı için −1 ≤ cos C ≤ 1. −1,92 < −1 olduğu için böyle bir açı yoktur.
Kosinüs, birim çemberde noktanın apsisidir; −1 ile 1 dışına çıkamaz.
(b) Varsayım: "bu üç uzunlukla bir üçgen kurulur" varsayımı yanlış. Üçgen eşitsizliği: 2 + 3 = 5 < 6.
Bir kenar, öteki iki kenarın toplamından kısa olmalı.
Sonuç: kenarları 2, 3, 6 cm olan üçgen yoktur; teorem ancak üçgen varken uygulanır.
Böyle bir üçgen yok: 2 + 3 < 6
Karşılaştır: kenarlar 2, 3 ve 4 cm olsaydı cos C = (4 + 9 − 16) / 12 = −3/12 = −1/4 çıkardı; aralıkta. O üçgen vardır, çünkü 2 + 3 > 4.
Formülde hata aramak. Formül doğru, veri imkânsız. −1 ile 1 dışında bir kosinüs görürsen önce üçgen eşitsizliğine bak.
SORU 6 UYGULA
ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm ve A = 30°. Üçgenin alanını iki yoldan bulunuz.
A = ½ · b · c · sin A · A = ½ · taban · yükseklik
Verilenleri yaz: |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm, aradaki açı A = 30°.
Ne isteniyor? A(ABC), iki yoldan.
İki kenar ve aradaki açı var: sinüslü alan bağıntısı. Yükseklik de aynı sinüsten gelir. Temsil: şekil; A köşesindeki açıyı iki kenarın arasına yaz.
buradan sonrasını sen çöz
Kural harfleriyle: A(ABC) = ½ · |AB| · |AC| · sin A.
Birinci yol: sin 30° = 1/2 (özel açı değeri) → A(ABC) = ½ · 8 · 6 · 1/2 = 12 cm².
İkinci yol: C'den AB'ye yükseklik h = |AC| · sin 30° = 6 · 1/2 = 3 cm → A(ABC) = ½ · 8 · 3 = 12 cm².
A(ABC) = 12 cm²
İki yol aynı sonucu verdi ✓. 12 cm², A dik açı olsaydı çıkacak ½ · 8 · 6 = 24'ten küçük; 30° dar ve küçük bir açı ✓.
½'yi unutmak (24 bulmak) ya da sinüs yerine kosinüs kullanmak (12√3 bulmak).
SORU 7 DERİNLEŞ · istersen atla
Üçgen biçimli bir arazinin iki kenarı 30 m ve 50 m, bu kenarlar arasındaki açı 120°. (a) Üçüncü kenarı, (b) arazinin alanını bulunuz. (√3 ≈ 1,73 alınız)
a² = b² + c² − 2bc · cos A · A = ½ · b · c · sin A
Verilenleri yaz: b = 30 m, c = 50 m, aradaki açı A = 120°.
Ne isteniyor? (a) a kenarı; (b) alan.
İki kenar ve aradaki açı: üçüncü kenar için kosinüs teoremi, alan için sinüslü alan bağıntısı. Temsil: şekil; açıyı iki kenarın arasına yaz, karşıdaki kenar a olur.
Kural harfleriyle: a² = b² + c² − 2bc · cos A ve alan = ½ · b · c · sin A.
Geniş açıda kosinüs eksidir; −2bc · cos A terimi artıya döner.
(b) sin 120° = sin 60° = √3/2 → alan = ½ · 30 · 50 · √3/2 = 375√3 ≈ 375 · 1,73 = 648,75 m².
sin(180° − x) = sin x; geniş açının sinüsü artıdır.
(a) 70 m · (b) 375√3 ≈ 648,75 m²
a = 70 m en uzun kenar ve en büyük açının (120°) karşısında ✓. Üçgen eşitsizliği: 70 < 30 + 50 = 80 ✓. Alan pozitif ve birimi m² ✓.
cos 120° = +1/2 almak: a² = 3400 − 1500 = 1900, a ≈ 43,6 m çıkar. Bu 50 m'den kısa; 120°'nin karşısındaki kenar en uzun olmalı.
SORU 8 DERİNLEŞ · istersen atla
Düz bir yolda A ve B noktaları arası 20 m. Bir kulenin tepesi T, A'dan 30°'lik, B'den 60°'lik açıyla görünüyor. A, B ve kulenin dibi K aynı doğru üzerinde; B kuleye daha yakın. Kulenin yüksekliğini bulunuz. (√3 ≈ 1,73 alınız)
a / sin A = b / sin B · sin x = karşı / hipotenüs
Verilenleri yaz: |AB| = 20 m; ∠TAK = 30°, ∠TBK = 60°; K kulenin dibi.
Ne isteniyor? h = |KT|.
İki açı ve bir kenar belli olan ABT üçgeninde sinüs teoremi, sonra BKT dik üçgeninde sinüs. Temsil: şekil; iki üçgeni ayrı ayrı gör.
Sinüs teoremi (ABT): |BT| / sin 30° = |AB| / sin 30° → |BT| = |AB| = 20 m.
BKT dik üçgeni: sin 60° = h / |BT| → h = 20 · √3/2 = 10√3 ≈ 10 · 1,73 = 17,3 m.
h = 10√3 ≈ 17,3 m
h ≈ 17,3 m, hipotenüs |BT| = 20 m'den kısa ✓. Kontrol: |BK| = 20 · cos 60° = 10 m, |AK| = 20 + 10 = 30 m; tan 30° = 10√3 / 30 = √3/3 ✓.
B'deki iç açıyı 60° almak. 60°, ABT üçgeninin dış açısıdır; iç açı 180° − 60° = 120°.
SINAV KÖŞESİ
Üçgen biçimli bir parkın bir açısı geniş açıdır. Parkın üç köşesinde birer giriş kapısı var. Belediye, üç kapıya eşit uzaklıkta bir aydınlatma direği dikmek istiyor. I. Direk, parkın kenar orta dikmelerinin kesim noktasına dikilir. II. Bu nokta parkın içindedir. III. Bu nokta parkın üç kenarına da eşit uzaklıktadır. yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III
Soruyu sökme: dört adım
Ne veriliyor? Geniş açılı bir üçgen; üç köşeye eşit uzaklıkta bir nokta aranıyor.
Ne isteniyor? Üç yargının doğruluğu; şıklar öncül kombinasyonu.
Hangi kavram / şekil? Köşelere eşit uzak nokta: kenar orta dikmelerin kesimi O. Kenarlara eşit uzak nokta: iç açıortayların kesimi I.
Birim kontrolü / okuma tuzağı: birim yok; "köşelere" ile "kenarlara" farklı sözcükler; "geniş açı" sözü O'nun yerini belirler.
Her yargıyı bir kesim noktasının özelliğiyle eşle. Temsil: şekil; geniş açılı bir üçgen çizip kenar orta dikmeleri kabaca çiz.
I: kenar orta dikme üzerindeki nokta kenarın iki ucuna eşit uzaktır; iki dikmenin kesimi üç köşeye eşit uzak. Doğru.
II: geniş açılı üçgende çevrel çemberin merkezi üçgenin dışındadır. Yanlış.
III: kenarlara eşit uzak olan nokta iç teğet çemberin merkezidir, O değil. Yanlış.
A) Yalnız I
Bağlamla uyumlu: direk park alanının dışına düşebilir; belediye bu yüzden başka bir yer seçmek zorunda kalabilir. Dar açılı bir parkta nokta içte olurdu.
C'yi seçtiysen: "kesim noktaları hep içte" yanılgısı. D'yi ya da E'yi seçtiysen köşeye eşit uzaklığı kenara eşit uzaklıkla karıştırmışsın.
SINAV KÖŞESİ · a→b→c
Bir okulun giriş rampası şekildeki gibidir. Okulun kendi kuralı (kurgusal): "Rampanın eğim açısı 5°'yi geçmemeli." (sin 5° ≈ 0,087 alınız)(a) Şekilden rampanın eğik yüzeyini ve yüksekliğini oku. (b) sin x kaçtır? (c) Rampa kurala uyuyor mu? Uymuyorsa, yükseklik aynı kalırken eğik yüzey en az kaç metre olmalı?
Soruyu sökme: dört adım
Ne veriliyor? Şekil (eğik yüzey, yükseklik) ve kural: x ≤ 5°, sin 5° ≈ 0,087.
Ne isteniyor? (a) okuma; (b) sin x; (c) karar ve gereken en kısa eğik yüzey.
Hangi kavram / şekil? Yükseklik x'in karşısı, eğik yüzey hipotenüs: sinüs. Dar açıda açı büyüdükçe sinüs de büyür.
Birim kontrolü / okuma tuzağı: iki uzunluk da metre; "en az" sözü eşitsizlik kurduğunu söyler.
Önce doğrudan oku, sonra tek oran hesapla, en son sinüsü kuralın sinüsüyle karşılaştır. Temsil: şekil; üç adım da aynı dik üçgenden.
(a) Doğrudan okuma: eğik yüzey 5 m, yükseklik 0,5 m.
(b) Tek adım hesap: sin x = karşı / hipotenüs = 0,5 / 5 = 0,1.
(c) Çıkarım: 0,1 > 0,087. Dar açıda sinüs açıyla birlikte büyüdüğü için x > 5°; rampa kurala uymuyor. Kural için 0,5 / ℓ ≤ 0,087 olmalı → ℓ ≥ 0,5 / 0,087 ≈ 5,75 m.
(a) 5 m ve 0,5 m · (b) sin x = 0,1 · (c) uymuyor; eğik yüzey en az yaklaşık 5,75 m
Uzun rampa daha yatık olur: ℓ büyüyünce 0,5 / ℓ küçülür ✓. 5,75 m > 5 m, beklenen yönde ✓. Birim metre ✓.
(b)'de 5 / 0,5 = 10 bulan oranı ters kurmuş; sinüs 1'den büyük olamaz. (c)'de "0,1 ile 0,087 çok yakın, uyar" diyen karşılaştırmayı atlamış.