Kolay Hoca, zor dersleri çizgi roman gibi anlatır. Bu kitapta 11. sınıf matematiğinin her konusunu Ece ile robot arkadaşı Volt anlatıyor: kısa sahneler, hareket eden çizimler ve oynayıp deneyebileceğin küçük düzenekler. Konu kafaya yerleşince hemen soruya geçiyorsun.
Kolay Hoca'nın üçüncü kitabı.
ECE 11. sınıf öğrencisi. Soru sormayı sever, ezberden nefret eder. Senin yerine "bu ne demek şimdi?" diye soran o.
VOLT Kolay Hoca'nın robotu. Bu sefer kareli tahtanın başında: koordinat düzlemi, birim çember, pergel ve cetvelle çizerek anlatır.
Nasıl çalışılır? (3 dakika, bir kez oku)
Telefonu başka odaya koy ya da kitabı telefondan okuyorsan "Rahatsız Etme"yi aç. Telefon masada dururken, kapalı bile olsa, çalışma belleği düşüyor; bu ölçülmüş bir şey, laf değil.
Her bölümde önce tahmin et. Tahminin tutmazsa üzülme: en çok, tutmayan tahminden sonra okunan açıklama akılda kalıyor.
Okumak öğrenmek değildir. "Kendine sor" kutularının cevabını açmadan önce kendin söyle. Testte boş bırakmak serbest; kopya çekmek değil.
Testin ilk 8 sorusu sırayla, kalanı karışık. Sınav da karışık sorar; karışık çözen öğrenci bir ay sonra çok daha fazla hatırlıyor. Testi iki türlü çözebilirsin: Sınav modu (hepsini çöz, sonunda puanını gör) ya da Alıştırma modu (her soruda hemen geri bildirim; yanlış yaparsan ipucu kendiliğinden açılır).
Hesap sorularını defterde çöz. Ekranda göz gezdirmek yetmez; kâğıda yazdığın adım akılda kalır. Her ünitenin "Yazdırılabilir özet" sayfasını çıktı alıp yanında tutabilirsin.
Yanlışların bir deftere düşer. 3 gün sonra kitap sana hatırlatır; o gün yanlışlarına dönüp testi bir daha çözersen konu kalıcı olur. Gece 23'ten sonra yeni konu açma; uykusuz beyin gündüz öğrendiğini kaydedemez.
25 dakika çalış, 5 dakika ara. Bir oturumda bir bölüm yeter. Her gün az, her gün.
Her ünitede 5 adım var, sırayla git
1 · ÇİZGİ ROMANSahneleri oku, çizimler hareket ederken izle. "Kafaya yaz" kutusu o sahnenin tek cümlelik özeti.
2 · 8 SORUHangi formül hangi soruda kullanılır, önce onu gör. Sonra 8 soruyu adım adım çözülmüş olarak incele.
4 · ÇÖZÜMLER30 sorunun hepsi ayrı sayfada, anlatımıyla. Yanlış yaptıklarına mutlaka bak.
5 · KARIŞIK TEKRARÜnite başında çözdüğün 5 soruluk ön testin yeni hâli ve önceki ünitelerle karışık alıştırma. Ne kadar ilerlediğini burada görürsün.
Veli için bir sayfa · çocuğunuza nasıl destek olursunuz (2 dakika)
Bu kitap çocuğunuzun kendi başına çalışabilmesi için yazıldı. Araştırmalar, ailenin ilgisinin başarıyı artırdığını, baskısının ise azalttığını tutarlı biçimde gösteriyor. Yapabileceğiniz en etkili şeyler çoğunlukla küçük şeyler.
Ne yapmayın
Puanı sormayın, kıyaslamayın. "Kaç yaptın?", "Kuzenin kaç yapmış?" soruları kaygıyı artırır; kaygılı öğrenci daha az çalışır.
Yanlışı ayıplamayın. Bu kitapta yanlış bir veri; hangi adımda ayrıldığını gösterir. "Bunu nasıl bilmezsin" cümlesi öğrenmeyi keser.
Süre saymayın. "Üç saat çalıştın mı?" yerine ne çözdüğü önemli. Kitap da dakika değil soru sayar.
Ne yapın
Sessiz bir saat ayarlayın. Telefonun çalışılan odada olmaması, açık olmasa bile, dikkati ölçülebilir biçimde artırır.
Uykuyu koruyun. Gece 23'ten sonra yeni konu verimsizdir; uyku, gündüz öğrenileni kalıcı yapan süreçtir.
Haftada bir 10 dakika "süreç" sohbeti. "Bu hafta neyi anladın, nerede takıldın?" diye sorun ve dinleyin. Çözüm önermek zorunda değilsiniz.
Takıldığı konuyu öğretmenine sordurun. "Öğretmenden yardım alabiliyorum" diyen öğrenciler uluslararası ölçmelerde belirgin biçimde daha başarılı.
Sorularda gereken her sabit ve yaklaşık değer (ör. π, √2, log 2) sorunun içinde verilir. Hesap makinesi gerekmez; gerekiyorsa soruda yazar.
1. TEMA · İSTATİSTİKSEL ARAŞTIRMA SÜRECİ
İki Değişken Arasındaki İlişki
Birlikte değişmek, birinin ötekine yol açması demek değildir.
Uzun boylular daha mı yükseğe zıplar? Dondurma satışı güneş yanığını mı artırır? Bu ünitede aynı kişiden alınan iki ölçümü serpme diyagramına çevirmeyi, ilişkinin yönünü ve gücünü okumayı, ilişki ile nedeni ayırmayı ve başkasının iddiasını veriyle sınamayı Ece ve Volt'la öğreneceksin.
Aynı kişiden iki ölçüm: serpme diyagramı
MAT.11.1.1 (a–d) · İki Nicel Değişkenli Veriler
Bu bölümde: İki nicel değişken için araştırma sorusu kurmayı öğreneceksin. Aynı kişiden iki ölçüm alıp tabloyu serpme diyagramına çevireceksin.≈ 8 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
nicel değişken — sayıyla ölçülen özellik, boy gibi · bu değildir: göz rengi gibi bir kategori
gözlem birimi — verisi toplanan kişi ya da nesne · bu değildir: ölçülen özelliğin kendisi
serpme diyagramı — her gözlem birimi bir nokta · bu değildir: noktaları birleştiren çizgi grafiği
birlikte değişim — biri değişirken ötekinin değişme eğilimi · bu değildir: her noktada geçen kesin kural
30 saniye
Sınıftan 8 öğrencinin boyu ve dikey zıplama yüksekliği ölçülecek. Sence ne görürüz?
Ne kadar eminsin?
Uzun boylular genelde daha yükseğe zıplar, ama her öğrenci bu kurala uymaz. İlişki bir eğilimdir. Üçüncü ve dördüncü sahnede noktalara bakacaksın.
Beden eğitimi dersi. Duvarda cetvel var, öğrenciler sırayla zıplıyor.
ECE: Uzun boylular hep daha yükseğe zıplar. Ölçmeye gerek var mı?
VOLT: Kısa cevap: "hep" sözünü veriyle sınayalım. Önce soruyu yazalım: boy ile zıplama yüksekliği arasında ilişki var mı?
VOLT: İki özellik de sayıyla ölçülüyor. Böyle özelliğe nicel değişken denir.
Volt bir veri toplama planı yazıyor.
ECE: Boyları bir sınıftan, zıplamaları başka sınıftan alsak olmaz mı?
VOLT: Kısa cevap: olmaz. Her satırda aynı kişinin iki ölçümü durmalı; buna aynı gözlem birimi denir.
VOLT: Ayrı kişilerden gelen sayılar eşleşmez. Kimin boyu kimin zıplamasıyla gider, bilemeyiz.
Tablo hazır. Volt her satırı bir noktaya çeviriyor.
ECE: Her satır bir nokta mı oluyor?
VOLT: Evet. Yatay eksende boy, düşey eksende zıplama var: D satırı (170, 44) noktası olur.
VOLT: Noktalar birleştirilmez. Bu çizime serpme diyagramı denir.
Hangisi iki nicel değişken arasındaki ilişkiye odaklanan bir araştırma sorusudur?
İkinci soru. İki özellik de sayıyla ölçülür ve aynı kişiden alınır. Birinci soru tek bir değişkeni betimler; üçüncüsünün cevabı sayı değil, bir kategori.
Sekiz nokta yerinde. Ece iki noktaya takılıyor.
ECE: D, E'den kısa ama daha yükseğe zıplamış. O hâlde ilişki yok.
VOLT: Kısa cevap: iki noktaya bakıp karar verme. Bütün buluta bak: sağa gittikçe yükseliyor.
VOLT: Buna birlikte artma eğilimi denir. Birkaç istisna eğilimi bozmaz.
Boy–zıplama verisine boyu 175 cm, zıplaması 38 cm olan dokuzuncu bir öğrenci eklendi. Bu nokta için ne söylenir?
Eğilim sürer. Sekiz noktanın bulutu hâlâ sağa doğru yükseliyor; tek bir nokta bulutun gidişini çevirmez. Eğilim, her öğrencide geçen bir kural değildir.
Bence iki noktaya bakmak yeter: D ile E ters gidiyorsa boy ile zıplama arasında ilişki yoktur.
Ama bu yanlış.
ilişki tek tek noktalardan değil, bütün buluttan okunur. En kısa üç öğrencinin zıplaması 36–40 cm, en uzun üç öğrencininki 45–52 cm. Aradaki D ile E istisnadır; eğilimi bozmaz.
İki nicel değişkenli veri: aynı gözlem biriminden (aynı kişiden) alınan iki sayısal ölçüm. Tabloda her satır bir kişidir.
Serpme diyagramı: her satır bir nokta (x, y) olur; noktalar birleştirilmez. Yatay eksene bir değişken, düşey eksene öteki yazılır.
Birlikte değişim eğilimi: bulut sağa gittikçe yükseliyorsa biri artarken öteki de artma eğilimindedir. Alçalıyorsa azalma eğilimindedir. Belirgin bir yön yoksa eğilim görülmez. Birkaç istisna eğilimi bozmaz.
Araştırma sırası: soru sor → veri toplama planı yap → veriyi topla → analiz et → yorumla.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden kuralı ve örneğini bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Tablodan serpme diyagramına
Önce tahmin: sekiz nokta yerleşince bulut sağa doğru yükselecek mi, alçalacak mı? Kendine söyle, sonra dene.
Bir satıra dokun: o öğrencinin noktası yerleşir. Kesikli çizgiler, noktanın hangi boydan ve hangi zıplamadan geldiğini gösterir.
Verilen temsil tablo: altı öğrencinin günlük ekran süresi ve uyku süresi (saat). Ötekini üret: (1) serpme diyagramını çiz; (2) eğilimi tek cümleyle yaz.
Öğrenci
1
2
3
4
5
6
Ekran (saat)
1
2
3
4
5
6
Uyku (saat)
9
7
8
7
6
6
Cevabı göster
Üç temsil yan yana. Tablo: her sütun bir öğrenci. Diyagram: her öğrenci bir nokta, örneğin 3. öğrenci (3, 8). Cümle: bu altı öğrencide ekran süresi arttıkça uyku süresi azalma eğilimindedir.
Eğim neye karşılık? Bulutun sağa doğru alçalması, tabloda ekran satırı büyürken uyku satırının küçülmesidir. 2. ve 3. öğrenci bu kurala uymuyor (2 saat ekranda 7 saat, 3 saat ekranda 8 saat uyku); eğilim yine de görülüyor.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: tablodaki bir sütun ↔ diyagramdaki bir nokta.
Ece boy–zıplama tablosunu serpme diyagramına çevirecek. Önündeki tablo karışık sırada olduğu için önce düzenliyor. Hangi adımda yanlış yaptı?
Boy (cm)
172
158
180
165
185
162
176
170
Zıplama (cm)
41
38
45
36
52
40
48
44
Tabloda 8 öğrenci var; her satırda bir öğrencinin boyu ve zıplaması yazıyor.
Zıplama sütununu da ayrıca küçükten büyüğe sıraladım ve boyların yanına yazdım: 36, 38, 40, 41, 44, 45, 48, 52.
Yan yana gelen sayıları nokta yaptım: (158, 36), (162, 38), … , (185, 52).
Noktaların hepsi sağa doğru yükseliyor: her uzun öğrenci, daha kısa herkesten yükseğe zıplıyor.
Hata 3. adımda (sıra). Zıplama sütununu ayrıca sıralamak satırları bozar: 36 cm zıplayan öğrencinin boyu 165 cm, 158 değil. Aynı gözlem biriminin iki ölçümü aynı satırda kalmalı. Doğrusu: satırı bütün olarak taşı; noktalar (158, 38), (162, 40), (165, 36), … olur. O zaman D ile E eğilime uymayan iki öğrenci olarak görünür; her uzun öğrenci daha yükseğe zıplamaz.
Kendine sor: Bir araştırmacı 20 öğrencinin boyunu ölçüyor, başka 20 öğrencinin kilosunu tartıyor. Bu verilerle boy–kilo serpme diyagramı çizilebilir mi? Neden? Cevap
Çizilemez. Bir nokta, aynı öğrencinin iki ölçümüdür; ayrı kişilerden gelen boy ve kilo eşleştirilemez. Her öğrenciden hem boy hem kilo alınmalı.
Dört bölgeyi say: bölgelere göre sayım oranı
MAT.11.1.1 (d–e) · İki Nicel Değişkenli Veriler
Bu bölümde: Düzlemi ortalama çizgileriyle dört bölgeye ayıracaksın. Her bölgedeki noktaları sayıp bir oran bulacak ve bu oranın ne dediğini okuyacaksın.≈ 10 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
aritmetik ortalama — değerlerin toplamı bölü değer sayısı · bu değildir: en sık görülen değer
ortalama çizgisi — x̄ ya da ȳ hizasındaki çizgi · bu değildir: koordinat ekseni
bölge — iki çizginin ayırdığı dört parçadan biri · bu değildir: eksenlerin ayırdığı çeyrek
bölgelere göre sayım oranı — bölge sayılarından çıkan eğilim sayısı · bu değildir: korelasyon katsayısının kendisi
30 saniye
Boy–zıplama bulutunun ortasından biri dikey, biri yatay iki çizgi geçiriyoruz. Noktaların çoğu hangi iki köşede toplanır?
Ne kadar eminsin?
Sağ üst ve sol alt. Birlikte artma eğiliminde uzunlar yükseğe, kısalar alçağa zıplar; bu da sağ üst ve sol alt köşeyi doldurur. İlk iki sahnede sayacağız.
Volt, sekiz noktanın ortasından iki çizgi geçiriyor.
ECE: Çizgileri neden tam buradan geçirdin?
VOLT: Kısa cevap: ortalamalardan. Boylar toplamı 1368, bölü 8 eder 171 cm; zıplamalar toplamı 344, bölü 8 eder 43 cm.
VOLT: Dikey çizgi x̄ = 171, yatay çizgi ȳ = 43 hizasında. Düzlem dört bölgeye ayrıldı.
Bölgelerin adı sağ üstten başlar, saat yönünün tersine gider.
ECE: Sağ üstte 3, sol altta 3 nokta var. Öteki iki bölgede birer tane.
VOLT: I ve III, iki ölçümün birlikte büyük ya da birlikte küçük olduğu noktalar. II ve IV ise ters gidenler.
Ece'nin tahtası. Ece hesabı kendisi yazıyor; Volt yalnızca soru soruyor.
ECE: Birlikte gidenleri ekledim, ters gidenleri çıkardım, sonucu nokta sayısına böldüm: 0,5.
VOLT: Neden böyle dedin? Nereden biliyorsun?
ECE: I ve III artı eğilimin kanıtı, II ve IV eksi eğilimin. Farkı sekize böldüm, çünkü sekiz öğrenci var.
Veriye boyu 160 cm, zıplaması 50 cm olan dokuzuncu öğrenci eklendi. Yeni ortalamalar x̄ ≈ 169,8 cm ve ȳ ≈ 43,8 cm. Bu nokta hangi bölgeye düşer?
II. bölge. Boyu ortalamanın altında (160 < 169,8), zıplaması üstünde (50 > 43,8). Sol üst köşe, ters giden noktaların bölgesidir.
Uç durumlar: bütün noktalar yalnızca iki bölgede.
ECE: O zaman sonuç hiçbir zaman 1'den büyük olamaz.
VOLT: Kısa cevap: evet. Bütün noktalar I ve III'teyse 1, hepsi II ve IV'teyse −1 çıkar.
VOLT: 0'a yakın bir sonuç, dört bölgenin dengeli dolduğunu söyler; belirgin bir yön yoktur.
Bir veride 10 noktanın 6'sı II ve IV. bölgede, 4'ü I ve III. bölgede. Bölgelere göre sayım oranının işareti ne olur?
Eksi: QCR = (4 − 6)/10 = −2/10 = −0,2. Ters gidenler birlikte gidenlerden fazla; biri artarken öteki azalma eğilimi var ama belirgin değil.
Bence bölgeleri eksenler ayırır: I. bölge, eksenlerin sağ üstüdür.
Ama bu yanlış.
boy ve zıplama hep artı sayıdır. Bu yüzden bütün noktalar eksenlerin sağ üstüne düşer ve sayım her veride 1 verir; bu sayı bir şey söylemez. Bölgeleri ortalama çizgileri ayırır: x̄ = 171 cm, ȳ = 43 cm. Aynı sekiz nokta o zaman 3, 1, 3, 1 diye dağılır.
x̄ = Σx / n
Kelimelerle: x değerlerinin hepsini topla, kaç değer varsa ona böl. ȳ de aynı yolla y değerlerinden bulunur.Harfler: x̄: x değerlerinin ortalaması · Σx: x değerlerinin toplamı · n: nokta (gözlem birimi) sayısı.
QCR = (nI + nIII − nII − nIV) / n
Kelimelerle: birlikte gidenlerin sayısından ters gidenlerin sayısını çıkar, toplam nokta sayısına böl.Harfler: nI, nII, nIII, nIV: bölgelerdeki nokta sayıları · n: toplam nokta sayısı · QCR: bölgelere göre sayım oranı.
Bölgeleri ortalama çizgileri ayırır, eksenler değil. Dikey çizgi x = x̄, yatay çizgi y = ȳ. I sağ üst, II sol üst, III sol alt, IV sağ alt.
−1 ≤ QCR ≤ 1. Artı: birlikte artma eğilimi. Eksi: biri artarken öteki azalma eğilimi. 0'a yakın: belirgin bir yön yok.
Bu kitaptaki tanım: programda bu oranın formülü yazılı değil; burada yaygın tanım kullanıldı. Bu kitabın sorularında hiçbir nokta ortalama çizgisinin tam üstüne düşmez.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden formülü ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Çapa: Beş öğrencinin boyu 160, 164, 171, 176 ve 179 cm. Ortalama: x̄ = 850/5 = 170 cm.
Varyant 1: yalnızca en uzun öğrencinin boyu 179'dan 189 cm'ye çıktı. Ortalama artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Artar. Toplam 850 + 10 = 860 olur: x̄ = 860/5 = 172 cm. Tek değer 10 artınca ortalama 10/5 = 2 artar.
Varyant 2: yalnızca boyu 170 cm olan altıncı bir öğrenci eklendi. Ortalama artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Aynı kalır. Toplam 850 + 170 = 1020, n = 6: x̄ = 1020/6 = 170 cm. Ortalamaya eşit bir değer eklemek ortalamayı değiştirmez.
Varyant 3: yalnızca her öğrenci ayakkabısını çıkardı; her boy 5 cm azaldı. Ortalama artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Azalır: x̄ = 170 − 5 = 165 cm. Her değer 5 azalınca ortalama da 5 azalır.
Karşı-örnek: ortalama tek başına ilişki hakkında bilgi vermez. Aynı beş boy, zıplamaları 36, 41, 44, 49, 55 cm olan beş öğrenciye iki türlü eşleşebilir: kısa olan az zıplarsa bulut yükselir, kısa olan çok zıplarsa bulut alçalır. İkisinde de x̄ = 170 cm ve ȳ = 45 cm.
Çapa: Boy–zıplama verisi: n = 8, x̄ = 171 cm, ȳ = 43 cm; D (170, 44), G (180, 45). Bölgelerde 3, 1, 3, 1 nokta. QCR = (3 + 3 − 1 − 1)/8 = 0,5.
Varyant 1: yalnızca D öğrencisinin boyu yanlış yazılmış: 170 değil, 173 cm. QCR artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Artar. Yeni x̄ = 1371/8 ≈ 171,4 cm. D (173, 44) artık I. bölgede. Sayılar 4, 0, 3, 1 olur: QCR = (4 + 3 − 0 − 1)/8 = 6/8 = 0,75.
Varyant 2: yalnızca G öğrencisinin zıplaması 45 değil, 40 cm çıktı. QCR artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Azalır. Yeni ȳ = 339/8 ≈ 42,4 cm. G (180, 40) IV. bölgeye geçer. Sayılar 2, 1, 3, 2 olur: QCR = (2 + 3 − 1 − 2)/8 = 2/8 = 0,25.
Varyant 3: yalnızca eksenler yer değiştirdi: boy düşey, zıplama yatay eksende. QCR artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Aynı kalır: 0,5. I ve III'teki noktalar yerinde kalır; II'deki nokta IV'e, IV'teki nokta II'ye geçer. Çıkarılan toplam yine 1 + 1 = 2.
Karşı-örnek: QCR yalnızca bölgeleri sayar, eğriyi göremez. (−2, 4), (−1, 1), (1, 1), (2, 4) noktaları bir çanak çizer; ama x̄ = 0, ȳ = 2,5 çizgileriyle dört bölgede birer nokta kalır ve QCR = 0 çıkar.
Bölge sayacı
Önce tahmin: ekran–uyku verisinde bölgelere göre sayım oranı artı mı çıkar, eksi mi? Kendine söyle, sonra dene.
Bir veri seç: ortalama çizgileri ve dört bölge çizilir, sayım kendiliğinden yapılır. İstersen fazladan bir nokta ekle ve kaydırıcılarla yerini değiştir; ortalamaların da kaydığına dikkat et.
Verilen temsil serpme diyagramı: 10 öğrencinin günlük ekran süresi ve uyku süresi; ortalama çizgileri çizilmiş (x̄ = 3,42 saat, ȳ = 7,51 saat). Ötekini üret: (1) dört bölgenin sayım tablosunu doldur; (2) QCR'yi hesapla; (3) sonucu tek cümleyle yaz.
Cevabı göster
Bölge
I
II
III
IV
n
Nokta sayısı
2
4
1
3
10
Hesap: QCR = (2 + 1 − 4 − 3)/10 = -4/10 = −0,4. Cümle: bu 10 öğrencide ekran süresi uzun olanların uyku süresi kısa olma eğilimindedir.
Sayı neye karşılık? II ve IV'ün kalabalık olması, bulutun sağa doğru alçalmasıdır; eksi işaret bunu söyler.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: diyagramdaki sol üst köşe ↔ tablodaki II. bölge sayısı ↔ formülde eksiyle giren nII.
Ece boy–zıplama verisi için bölgelere göre sayım oranını hesaplıyor. Hangi adımda yanlış yaptı?
n = 8 öğrenci, yani 8 nokta var.
Bölgeleri ayırmak için x = 0 ve y = 0 eksenlerini kullandım.
Boylar ve zıplamalar hep artı sayı; 8 noktanın 8'i de I. bölgede.
QCR = (8 + 0 − 0 − 0)/8 = 1.
Sonuç: boy ile zıplama arasında kusursuz bir birlikte artma var.
Hata 2. adımda (okuma). Bölgeleri eksenler değil, ortalama çizgileri ayırır. Eksenlerle ayırınca artı değerli her veri I. bölgeye düşer; QCR her zaman 1 çıkar ve hiçbir şey söylemez. Doğrusu: x̄ = 171 cm ve ȳ = 43 cm çizgileriyle sayım 3, 1, 3, 1 olur; QCR = (3 + 3 − 1 − 1)/8 = 0,5. D ile E istisnaları da sayıya girer.
Kendine sor: 20 noktalı bir veride 12 nokta I ve III. bölgede, 8 nokta II ve IV. bölgede. QCR kaçtır, ne söyler? Cevap
QCR = (12 − 8)/20 = 4/20 = 0,2. Artı ama 0'a yakın: noktalar dört bölgeye oldukça dengeli dağılmış, birlikte artma eğilimi belirgin değil.
Korelasyon katsayısı: yön, güç ve aykırı değer
MAT.11.1.1 (d–f) · İki Nicel Değişkenli Veriler
Bu bölümde: Yazılımın verdiği korelasyon katsayısını okumayı öğreneceksin. İşaret yönü, büyüklük gücü söyler. Tek bir uzak noktanın onu nasıl değiştirdiğini de göreceksin.≈ 7 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
korelasyon katsayısı r — doğrusal ilişkinin yönü ve gücü · bu değildir: neden-sonuç ölçüsü
doğrusal ilişki — noktalar bir doğru boyunca dizilir · bu değildir: her türlü eğri biçimli ilişki
aykırı değer — buluttan çok uzak düşen nokta · bu değildir: her zaman yanlış ölçülmüş veri
eğrisel ilişki — noktalar bir eğri boyunca dizilir · bu değildir: ilişkinin olmaması
30 saniye
Yazılım iki veri için r = 0,90 ve r = −0,95 verdi. Hangisinde doğrusal ilişki daha güçlü?
Ne kadar eminsin?
r = −0,95 olanda. İşaret yönü söyler: eksi, biri artarken ötekinin azaldığı demek. Güç büyüklükten okunur: 0,95 > 0,90. İlk sahnede dört bulutla göreceksin.
Volt dört veriyi bir istatistik yazılımına veriyor. Yazılım her biri için bir sayı yazıyor: r.
ECE: Eksi 0,95 çıkan veride ilişki yok. Sayı eksi.
VOLT: Kısa cevap: eksi işareti yönü söyler. Biri artarken öteki azalıyor ve noktalar bir doğruya çok yakın.
VOLT: Güç büyüklükten okunur: sayı −1'e ya da 1'e yaklaştıkça noktalar bir doğruya yaklaşır.
Dördüncü veri: havaya atılan topun yüksekliği.
ECE: r sıfıra çok yakın. O hâlde zaman ile yükseklik arasında hiçbir ilişki yok.
VOLT: Kısa cevap: doğrusal ilişki yok, ilişki var. r yalnızca noktaların bir doğruya ne kadar yakın olduğunu ölçer.
VOLT: Burada yükseklik zamana çok bağlı, ama bir eğri boyunca.
Volt iki veriye birer uzak nokta ekliyor.
ECE: Tek nokta koca buluta ne yapabilir ki?
VOLT: Kısa cevap: çok şey. Soldaki uzak nokta r'yi 0,94'ten 0,54'e indirdi.
VOLT: Sağda tersi oldu: −0,09 idi, 0,41'e çıktı. Önce grafiğe bak, sonra sayıya.
Yazılım dört veri için şu değerleri verdi: 0,62; −0,88; 0,15; −0,30. Doğrusal ilişkisi en güçlü olan hangisi?
−0,88. Güç, işarete değil büyüklüğe bakar: 0,88 en büyük büyüklük. 0,62 artı diye daha güçlü sayılmaz; −0,88'de biri artarken öteki azalıyor ve noktalar bir doğruya daha yakın.
Bence biri artarken öteki azalıyorsa ilişki yoktur; r eksi çıktıysa ilişki zayıftır.
Ama bu yanlış.
eksi işaret yalnızca yönü söyler. Sıcaklık–doğalgaz verisinde r = −0,95: hava ısındıkça tüketim azalıyor ve noktalar bir doğruya çok yakın. Bu, sayfa–ağırlık verisindeki r = 0,94 kadar, hatta biraz daha güçlü bir ilişkidir.
−1 ≤ r ≤ 1
Kelimelerle: korelasyon katsayısı −1 ile 1 arasında bir sayıdır; işareti yönü, büyüklüğü gücü söyler.Harfler: r: korelasyon katsayısı. Birimi yoktur; bu kitapta onu hep yazılım hesaplar.
Yön: r artıysa biri artarken öteki artma eğilimindedir. r eksiyse azalma eğilimindedir.
Güç: r, 1'e ya da −1'e yaklaştıkça noktalar bir doğruya yaklaşır; doğrusal ilişki güçlenir. r = −0,9 ile r = 0,9 aynı güçtedir.
r ≈ 0: doğrusal ilişki yok demektir, "hiç ilişki yok" demek değildir. Noktalar bir eğri boyunca dizilebilir.
Aykırı değer: tek bir uzak nokta r'yi büyütebilir de küçültebilir de. Sayıya güvenmeden önce serpme diyagramına bak.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden formülü ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Çapa: Kitap sayfa sayısı–ağırlık verisinde (10 kitap) yazılım r = 0,94 veriyor.
Varyant 1: yalnızca ağırlıklar gram yerine kilogramla yazıldı; her değer 1000'e bölündü. r artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Aynı kalır: r = 0,94. Birim değişince eksenin üstündeki sayılar değişir, noktaların dizilişi değişmez.
Varyant 2: yalnızca veriye 120 sayfalık ama 450 g gelen bir kitap eklendi (aykırı değer). r artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
Azalır: yazılım r = 0,54 verir. Nokta, bulutun gidişinden çok uzakta; tek başına doğrusal ilişkiyi zayıf gösterir.
Varyant 3: yalnızca ağırlık yerine "rafın taşıyabileceği kalan yük" yazıldı: 2000 g eksi kitabın ağırlığı. r artar mı, azalır mı, aynı mı kalır?
r azalır ve −0,94 olur. Büyüklük aynı kaldığı için güç değişmez, yalnızca yön döner: kitap kalınlaştıkça kalan yük azalır.
Karşı-örnek: r yalnızca doğrusal ilişkiyi ölçer. Top yüksekliği–zaman verisinde r = 0,01, ama noktalar kusursuz bir tepe çiziyor. Buradan "ilişki yok" demek yanlış olur.
r tahmincisi
Önce tahmin: dört dağılımdan hangisinde r sıfıra en yakın çıkar? Kendine söyle, sonra dene.
Bir dağılım seç, kaydırıcıyla r tahminini yap, sonra yazılıma hesaplat. İstersen aykırı bir nokta ekleyip farkı gör.
Derine in (isteğe bağlı): yazılım r'yi nasıl hesaplar?
Programda bu hesap zenginleştirmedir; hesap makinesiyle yapılır, sınavda istenmez.
r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / √(Σ(x − x̄)² · Σ(y − ȳ)²)
Paydaki her çarpım bir noktadan gelir. I ve III. bölgedeki noktada iki fark aynı işaretlidir, çarpım artıdır. II ve IV'teki noktada çarpım eksidir. Bölgelere göre sayım oranının fikri budur; r ayrıca noktanın ortalamadan ne kadar uzak olduğunu da tartar. Payda sonucu −1 ile 1 arasına getirir.
Verilen temsil sayı: bir yazılım üç veri için r = 0,90, r = −0,60 ve r = 0,05 verdi. Ötekini üret: her biri için kaba bir serpme diyagramı çiz ve bir cümleyle anlat.
Cevabı göster
Cümleler. 0,90: biri artarken öteki artma eğiliminde; noktalar bir doğruya yakın. −0,60: biri artarken öteki azalma eğiliminde; bulut daha dağınık. 0,05: doğrusal bir eğilim yok.
Sayı neye karşılık? İşaret bulutun eğim yönüne, büyüklük bulutun inceliğine karşılık gelir.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: r'nin eksi işareti ↔ bulutun sağa doğru alçalması.
Ece dört verinin doğrusal ilişkisini güçlüden zayıfa sıralıyor. Yazılımın verdiği değerler: P: 0,55 · R: −0,91 · S: 0,78 · T: −0,12. Hangi adımda yanlış yaptı?
r'nin büyüklüğü gücü, işareti yönü söyler.
S'de r = 0,78: artı ve büyük; belirgin bir birlikte artma var.
R'de r = −0,91 eksi sayı; 0'dan küçük olduğu için R'deki ilişki en zayıfı.
T'de r = −0,12: 0'a yakın, doğrusal eğilim belirgin değil.
Sıralama: S, P, T, R.
Hata 3. adımda (işaret). Güç işarete değil büyüklüğe bakar: −0,91'in büyüklüğü 0,91, dördünün en büyüğü. Eksi işaret yalnızca biri artarken ötekinin azaldığını söyler. Doğru sıralama: R (0,91), S (0,78), P (0,55), T (0,12).
Kendine sor: Yazılım bir veri için r = 0,03 verdi. "Bu iki değişken arasında hiçbir ilişki yok" demek doğru mu? Cevap
Tam doğru değil. r = 0,03 yalnızca doğrusal ilişki olmadığını söyler. Noktalar bir eğri boyunca dizilmiş olabilir; karar vermeden önce serpme diyagramına bakılır.
Sonuç yazmak: ilişki, neden ve belirsizlik
MAT.11.1.1 (f–g) · İki Nicel Değişkenli Veriler
Bu bölümde: Veriden bir sonuç cümlesi yazmayı öğreneceksin. İlişki ile nedeni ayıracak, sonucun kime söylenebileceğine karar vereceksin.≈ 8 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
neden-sonuç ilişkisi — birindeki değişim ötekini doğrudan değiştirir · bu değildir: yalnızca birlikte değişmek
üçüncü değişken — ikisini birden etkileyen gizli etken · bu değildir: incelenen iki değişkenden biri
örneklem — verisi toplanan daha küçük grup · bu değildir: evrenin tamamı
evren — sonucun söylendiği bütün grup · bu değildir: yalnızca ölçülen öğrenciler
30 saniye
Yaz boyunca bir sahil kasabasında günlük dondurma satışı ile güneş yanığı yüzünden eczaneye gelen kişi sayısı birlikte artıyor. Hangisi en iyi açıklama?
Ne kadar eminsin?
Sıcak ve güneşli günler. Güneşli günde hem dondurma çok satılır hem yanık artar; iki sayı birbirini değil, ortak bir etken ikisini birlikte değiştirir. İlk iki sahnede ve Oyna'da göreceksin.
VOLT: Kısa cevap: iki sayıyı birlikte değiştiren üçüncü bir şey var: sıcak ve güneşli hava.
VOLT: Buna üçüncü değişken denir. Güneş hem dondurma sattırır hem cildi yakar.
Volt yalnızca aynı sıcaklıktaki günleri ayırıyor.
ECE: Aynı sıcaklıktaki günlere bakınca ilişki kayboldu.
VOLT: Evet: sıcaklık sabitken dondurma ile yanık birlikte değişmiyor. İlişkiyi taşıyan sıcaklıktı.
ECE: O hâlde korelasyon hiçbir zaman neden göstermez.
Volt iki cümleyi tahtaya yazıyor.
VOLT: Kısa cevap: "olamaz" değil, "tek başına kanıtlamaz". Neden-sonuç olan yerde de korelasyon görülür.
VOLT: Nedeni göstermek için başka kanıt gerekir. Korelasyon yalnızca birlikte değişimi gösterir.
Hangisi belirsizliği doğru ifade eden bir sonuç cümlesidir?
İkinci cümle: iki değişkenin adını, yönü ve belirsizliği ("bu örneklemde", "eğilimindedir") birlikte söylüyor. Birincisi her öğrencide geçen kesin bir kural gibi, üçüncüsü neden-sonuç gibi yazılmış.
Genelleme: A okulundan 40 öğrenci.
ECE: A okulunda çıkan sonuç ildeki bütün 11. sınıflar için de geçerlidir.
VOLT: Kısa cevap: emin olamayız. Örneklem tek okuldan; B okulunda sonuç farklı çıkabilir.
VOLT: Genellemek için örneklem evreni temsil etmeli: farklı okullardan, yeterli sayıda öğrenci gerekir.
Bir ilçeden rastgele seçilen 200 hanede evin alanı ile ısınma gideri arasında artı yönde ilişki bulundu. Bu sonuç en güvenle kime söylenebilir?
Bu ilçedeki hanelere. Örneklem ilçeden rastgele seçildiği için ilçeyi temsil edebilir; başka ilçelerin iklimi ve evleri farklı olabilir. Örneklemden sonuç çıkar, ama kime genellendiği sınırlıdır.
Bence iki şey birlikte artıyorsa biri ötekine sebep olur. Olmuyorsa da korelasyonun nedenle hiçbir ilgisi yoktur.
Ama bu yanlış.
iki uç da yanlış. Birlikte artmak neden-sonuç demek değildir: dondurma ile yanığı sıcaklık birlikte artırır. Ama korelasyon nedenle ilgisiz de değildir; neden-sonuç olan yerde de korelasyon görülür. Doğru söz: ilişkili olmak, tek başına neden-sonuç kanıtı değildir.
Kural: iki nicel değişkenin ilişkili olması, aralarında neden-sonuç ilişkisi olduğu anlamına gelmez. İkisini birlikte değiştiren bir üçüncü değişken olabilir.
Ters uca kaçma: "korelasyon asla neden olamaz" da yanlıştır. Doğru söz: korelasyon nedeni tek başına kanıtlamaz.
Sonuç cümlesi üç parçalıdır: iki değişkenin adı, yön ve belirsizlik dili. Örnek: "Bu örneklemde ekran süresi uzun olan öğrencilerin uyku süresi kısa olma eğilimindedir."
Genelleme: sonuç önce örneklem için söylenir. Evrene genellemek için örneklem evreni temsil etmelidir.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden kuralı ve örneğini bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Üçüncü değişken
Önce tahmin: yalnızca aynı sıcaklıktaki günlere bakarsan dondurma ile yanık arasındaki ilişki güçlenir mi, kaybolur mu? Kendine söyle, sonra dene.
30 yaz günü (kurgusal veri). Her nokta bir gün: yatayda satılan dondurma, düşeyde güneş yanığıyla eczaneye gelen kişi. Kaydırıcıyla bir sıcaklık seç; "Sıcaklığı sabitle" düğmesi yalnızca o sıcaklıktaki günleri bırakır.
İki kukla aynı anda kalkıp iner, çünkü ikisinin ipi aynı eldedir. Dondurma ile yanık da birlikte artar, çünkü ikisini de sıcak ve güneşli hava "çeker".
Gerçek veride ip gevşektir: aynı sıcaklıkta da satış ve yanık günden güne değişir. Kuklacı da görünmez; bazen ikisini birden birkaç etken birlikte çeker.
Birlikte hareket görünce "hangisi ötekini çekiyor?" demeden önce "ikisini birden çeken bir el var mı?" diye sor.
Kendi kendini puanla · sonuç cümleni yaz. Bir okulda 50 öğrencinin günlük telefon kullanım süresi ile haftalık kitap okuma süresi ölçüldü. Serpme diyagramı sağa doğru alçalıyor, yazılım r = −0,58 verdi. Araştırma sorusuna cevap veren bir sonuç cümlesini kâğıda yaz.
Tam puan cevap şuna benzer
Bu okuldaki 50 öğrencide telefon kullanım süresi uzun olanların kitap okuma süresi kısa olma eğilimindedir (r = −0,58).
Bu veri, telefonun okumayı azalttığını tek başına göstermez; ikisini birden etkileyen başka bir etken olabilir.
Sonuç bu örneklem için söylendi; başka okullara genellemek için yeni veri gerekir.
İki değişkenin adını yazdım (telefon süresi, okuma süresi).
Yönü doğru yazdım: biri artarken öteki azalma eğiliminde.
Belirsizlik sözcüğü kullandım (eğilimindedir, bu örneklemde) ve neden-sonuç iddia etmedim.
Verilen temsil sözel: "Bu 10 evlik örneklemde evin alanı büyüdükçe aylık elektrik tüketimi artma eğilimindedir; ama her ev bu kurala uymuyor." Ötekini üret: bu cümleye uyan bir serpme diyagramı çiz; r'nin işaretini ve kabaca büyüklüğünü söyle.
Cevabı göster
Bir çözüm (yukarıdaki gibi). Bulut sağa doğru yükselir; noktalar bir doğruya yakın ama tam üstünde değil. Yazılım bu veri için r = 0,95 veriyor: artı ve 1'e yakın, 1 değil.
Sayı neye karşılık? "artma eğilimindedir" ↔ artı işaret; "her ev uymuyor" ↔ r'nin tam 1 olmaması ve II ya da IV. bölgedeki nokta (burada 1 ev).
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: cümledeki "eğilim" sözü ↔ bulutun genel gidişi; cümledeki "uymuyor" ↔ ters bölgedeki nokta.
A okulunda 40 gönüllü öğrencinin günlük spor süresi ile uyku kalitesi puanı ölçüldü. Yazılım r = 0,48 verdi. Ece raporunu yazıyor. Hangi adımda yanlış yaptı?
Araştırma sorusu: spor süresi ile uyku kalitesi puanı arasında ilişki var mı?
Her öğrenciden iki ölçüm alındı; 40 nokta çizildi.
r = 0,48 artı: spor süresi uzun olanların uyku puanı yüksek olma eğiliminde.
Bu sonuç ülkedeki bütün lise öğrencileri için geçerlidir.
Neden-sonuç iddia etmedim; yalnızca birlikte değişimi yazdım.
Hata 4. adımda (kural uydurma). Örneklem tek okuldan ve gönüllülerden oluşuyor; evreni temsil ettiği bilinmiyor. Gönüllüler zaten spor seven öğrenciler olabilir. Doğrusu: "A okulundaki bu 40 gönüllü öğrencide spor süresi uzun olanların uyku puanı yüksek olma eğilimindedir." Evrene genellemek için farklı okullardan seçilmiş bir örneklem gerekir.
Kendine sor: Bir haber: "Kahvaltıya ayrılan süre ile not ortalaması artı yönde ilişkili; uzun kahvaltı notu yükseltiyor." Hangi üçüncü değişken ikisini birden etkileyebilir? Cevap
Örneğin günlük düzen ve uyku: erken yatıp erken kalkan öğrenci hem kahvaltıya vakit ayırır hem derse dinlenmiş gelir. Veri, kahvaltının notu yükselttiğini tek başına kanıtlamaz.
Başkasının iddiasını sına
MAT.11.1.2 (a–c) · Başkaları Tarafından Oluşturulan İki Nicel Değişkenli Verileri İnceleme
Bu bölümde: Bir haberin iki değişken hakkındaki iddiasını beş soruyla sınamayı öğreneceksin. Hatayı ve yanlılığı bulup iddiayı gerekçeyle çürütecek ya da kabul edeceksin.≈ 7 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
iddia — haberin ya da raporun vardığı sonuç · bu değildir: verinin kendisi
yanlılık — örneklemin sonucu bir yöne çekmesi · bu değildir: rastgele küçük bir sapma
istatistiksel temellendirme — iddiayı veriyle ve ölçüyle desteklemek · bu değildir: ünlü birinin görüşüne dayanmak
Bir gönderi: "Anketimize katılan 25 kişinin hepsi günde 8 bardak su içiyor ve hepsi çok mutlu; su mutluluk getirir." Bu iddiadaki en büyük sorun hangisi?
Ne kadar eminsin?
Su miktarı herkeste aynıysa birlikte değişim gözlenemez. Birlikte değişim görülse bile neden-sonuç tek başına kanıtlanmaz. Örneklemi büyütmek bu iki sorunu çözmez.
Ece'nin telefonunda bir haber.
ECE: Başlıkta "araştırma" yazıyor. O hâlde doğrudur.
VOLT: Kısa cevap: başlığı değil veriyi oku. Önce sor: kaç kişiden, kimlerden, nasıl toplanmış?
VOLT: Katılanlar bir kitap kulübünün üyeleri, zaten çok okuyan kişiler. Örneklem yanlı olabilir.
Haberin grafiği ile yazdığı sayı.
ECE: Grafikte dağınık bir bulut var ama altında r = 0,85 yazıyor.
VOLT: Kısa cevap: ikisi birden doğru olamaz. Aynı noktaları yazılıma verdim, r = 0,21 çıktı; haberdeki sayı grafikle tutarsız.
Bir okuyucu haberin altına yorum yazmış.
ECE: Bu yorum iddiayı çürüttü mü?
VOLT: Kısa cevap: hayır. İlişki bir eğilimdir; tek kişi eğilimi ne kanıtlar ne çürütür.
VOLT: Çürütmek için veri gerekir: örneklem, grafik ve r birlikte incelenir.
Haberin iddiası: "Kitap okumak notları yükseltiyor." Hangisi bu iddiaya karşı istatistiksel bir gerekçedir?
İkincisi: veriye (grafik ve r) ve örneklemin nasıl seçildiğine dayanıyor. Birincisi tek kişilik bir örnek, üçüncüsü kişiyle ilgili; ikisi de istatistiksel gerekçe değil.
Volt başka bir rapor açıyor.
ECE: Bunda kusur bulamadım. Kabul mü ediyoruz?
VOLT: Kısa cevap: evet, bu örneklem için. Veri, grafik ve cümle birbiriyle tutarlı.
VOLT: Kabul etmek "kesin doğru" demek değil; kanıt yeterli demek.
Hangisi bir iddiayı kabul etmek için yeterli değildir?
Tek bir kişinin iddiaya uyması. Bir kişi eğilimi ne kanıtlar ne çürütür. Grafik ile r'nin tutarlılığı ve örneklemin açıkça anlatılması ise beş sorudan ikisidir.
Bence iddiaya uymayan tek bir kişi bulursam iddia çürür; her birey kurala uymalı.
Ama bu yanlış.
iki nicel değişken arasındaki ilişki bir eğilimdir, her kişi için kural değildir. Boy–zıplama verisinde D ile E eğilime uymuyordu, bölgelere göre sayım oranı yine 0,5 çıktı. Bir iddiayı çürütmek için tek örnek değil, verinin bütünü gerekir: örneklem, grafik ve r.
Bir iddiayı sınamak için beş soru:
Kimden? Kaç kişi, nasıl seçildi? Seçim sonucu bir yöne çekiyor mu (yanlılık)?
Aynı birim mi? İki ölçüm aynı kişilerden mi alındı?
Grafik ile sayı tutarlı mı? Dağınık bir bulut ile r = 0,85 bir arada olamaz. Alçalan bulut ile artı r da olamaz.
Dil ne diyor? "Yükseltiyor, yol açıyor" gibi neden-sonuç sözleri veriyle desteklenmiş mi?
Kime genellenmiş? Sonuç örneklemin ötesine taşınmış mı?
Karar: beşi de tutarlıysa iddia bu örneklem için kabul edilir. Biri bile bozuksa gerekçesi yazılarak çürütülür ya da düzeltilir. Tek bir kişinin durumu gerekçe değildir.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden kuralı ve örneğini bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Verilen temsil haber metni ve tablo: "Altı ilçede yapılan ölçüme göre ağaç sayısı çok olan ilçelerde yaz öğlesi sıcaklığı düşük olma eğiliminde." Ötekini üret: serpme diyagramını çiz, QCR'yi hesapla ve cümlenin veriyle uyumlu olup olmadığına karar ver.
Karar: eksi QCR ve alçalan bulut cümleyle uyumlu; cümle "eğiliminde" diyor, neden-sonuç iddia etmiyor. Bu altı ilçe için kabul edilir. 2. ilçe (18 bin ağaç, 29,8 °C) eğilime uymuyor; bu bir istisnadır.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: haberdeki "çok ağaç, düşük sıcaklık" ↔ IV. bölgedeki üç ilçe; tablodaki sağa doğru azalan sıcaklık satırı ↔ alçalan bulut.
Bir rapor: "Bir ilçedeki 12 marketin otopark kapasitesi (araç) ile yıllık cirosu incelendi; serpme diyagramı sağa doğru yükseliyor, r = 0,81." Ece raporun sonucunu değerlendiriyor. Hangi adımda yanlış yaptı?
Veri 12 marketten; her marketin iki ölçümü var, gözlem birimi market.
Serpme diyagramı sağa doğru yükseliyor; artı r = 0,81 grafikle tutarlı.
r artı ve 1'e yakın: otoparkı büyük marketlerin cirosu yüksek olma eğiliminde.
O hâlde otoparkı büyüten market cirosunu artırır; rapor bunu kanıtlıyor.
Sonuç yalnızca bu ilçedeki 12 market için söylenebilir.
Hata 4. adımda (neden-sonuç). Veri birlikte değişimi gösterir, nedeni kanıtlamaz. Büyük marketler hem geniş otopark yapar hem çok satar: marketin büyüklüğü üçüncü değişken olabilir. Doğrusu: "Bu 12 markette otopark kapasitesi büyük olanların cirosu yüksek olma eğilimindedir; otoparkı büyütmenin ciroyu artıracağı bu veriyle gösterilemez."
Kendine sor: Bir haber: "Grafikte noktalar sağa doğru belirgin biçimde alçalıyor, r = 0,76." Bu haberde ne tutarsız? Cevap
İşaret. Sağa doğru alçalan bulut eksi r verir; r = 0,76 artı. Ya grafik ya sayı hatalı. Böyle bir tutarsızlık düzeltilmeden iddia kabul edilmez.
Veri: bir okulda rastgele seçilen 60 öğrencinin günlük ekran süresi ve uyku süresi. Serpme diyagramı sağa doğru alçalıyor, yazılım r = −0,64 verdi. Soru: aşağıdaki iddialardan hangileri bu veriyle desteklenir? Doğru bulduğun hücrelere dokun, sonra kontrol et.
Bu örneklemde ekran süresi uzun olanların uyku süresi kısa olma eğilimindedir.
Ekran süresi uykuyu azaltır.
r eksi olduğu için ekran ile uyku arasında ilişki yoktur.
Ekranda 5 saat geçiren her öğrenci 6 saatten az uyur.
Doğrusal ilişkinin yönü eksidir.
Sonuç ülkedeki bütün öğrenciler için kesindir.
Bu veride bölgelere göre sayım oranının eksi çıkması beklenir.
Bu örneklemde uyku süresi uzun olanların ekran süresi kısa olma eğilimindedir.
r = −0,64, r = 0,64'ten daha zayıf bir ilişki gösterir.
Neden? (kontrol ettikten sonra aç)
Desteklenenler: 1 ve 8 aynı eğilimi iki yönden söyler, ikisi de belirsizlik dili kullanır. 5 yönü doğru okur. 7, alçalan bulutta noktaların çoğunun II ve IV. bölgede olmasını bekler.
Desteklenmeyenler: 2 neden-sonuç iddia ediyor. 3 eksi işareti "ilişki yok" diye okuyor. 4 eğilimi her kişi için kural sanıyor. 6 tek okuldan bütün ülkeye genelliyor. 9 gücü işaretten okuyor; büyüklükleri aynı, güçleri aynı.
Bugün öğrendiğim en önemli şey (ilişki, neden ya da r hakkında tek cümle):
Hâlâ bulanık olan (bölgeler mi, r mi, genelleme mi?):
Kendi örneğim (birlikte değişen iki nicel değişken ve ikisini etkileyebilecek bir üçüncü değişken):
Hangi formül, hangi soruda?
Soru hangi kelimeyi söylüyorsa o satıra bak.
Formül / kural
Ne zaman kullanılır
Harfler / anlamı
Kural: tablo → serpme diyagramı
"aynı öğrenciden iki ölçüm", "serpme diyagramı çiz"
Her satır (gözlem birimi) bir nokta (x, y); iki ölçüm aynı birimden; noktalar birleştirilmez.
x̄ = Σx / n
"ortalama", "ortalama çizgisi", "x̄, ȳ"
x̄: x'lerin ortalaması · Σx: x'lerin toplamı · n: nokta sayısı. ȳ aynı yolla.
Kural: dört bölge
"I. bölge", "ortalamanın üstünde"
Dikey x = x̄ ve yatay y = ȳ çizgileri ayırır. I sağ üst, II sol üst, III sol alt, IV sağ alt. Eksenler değil.
QCR = (nI + nIII − nII − nIV) / n
"bölgelere göre sayım oranı", "QCR"
nI…nIV: bölgelerdeki nokta sayısı · n: toplam nokta. −1 ≤ QCR ≤ 1; artı: birlikte artma, eksi: ters yön.
−1 ≤ r ≤ 1
"korelasyon katsayısı", "yazılım r = …"
İşaret yön, büyüklük güç. r ≈ 0: doğrusal ilişki yok (eğrisel olabilir). Aykırı değer r'yi büyütebilir de küçültebilir de. Hesabı yazılım yapar.
Kural: ilişki ≠ neden
"yol açar", "artırır", "sebep olur"
İlişki tek başına neden-sonuç kanıtı değildir; üçüncü değişken olabilir. "Asla neden olamaz" da yanlış.
Kural: sonuç cümlesi
"sonuç yazınız", "yorumlayınız"
İki değişkenin adı + yön + belirsizlik dili ("bu örneklemde", "eğilimindedir"). Genelleme örneklemle sınırlı.
Kural: iddiayı sına
"haber", "rapor", "iddia", "çürütünüz"
Beş soru: kimden, aynı birim mi, grafik ile sayı tutarlı mı, dil ne diyor, kime genellenmiş? Tek kişi gerekçe değildir.
SORU 1 ALIŞTIR
Bir sitede 6 dairenin yaşam alanı (m²) ve bir aylık elektrik tüketimi (kWh) ölçülüyor.
Daire
A
B
C
D
E
F
Alan (m²)
60
75
85
105
120
155
Elektrik (kWh)
150
190
175
230
205
310
(a) Alanların ve tüketimlerin ortalamasını bulunuz. (b) Hangi daireler, ortalama çizgilerine göre I. bölgededir?
I. bölge iki koşul ister: x > 100 ve y > 210. D (105, 230) ve F (155, 310) ikisini de sağlar. E (120, 205): alanı büyük ama 205 < 210, IV. bölgede. A, B, C'nin alanı 100'ün altında.
I. bölge: iki ölçümün ikisi de kendi ortalamasının üstünde.
(a) x̄ = 100 m², ȳ = 210 kWh · (b) D ve F
Ortalama en küçük ile en büyük değer arasında olmalı: 60 < 100 < 155 ve 150 < 210 < 310, uyumlu. Birimler ayrı: alan m², tüketim kWh.
E'yi I. bölgeye koymak. Alanı ortalamanın üstünde ama tüketimi (205) 210'un altında; I. bölge için iki koşulun ikisi de gerekir.
SORU 2 ALIŞTIR
Soru 1'deki 6 daire için (tablo aşağıda) bölgelere göre sayım oranını (QCR) hesaplayınız ve yorumlayınız.
Daire
A
B
C
D
E
F
Alan (m²)
60
75
85
105
120
155
Elektrik (kWh)
150
190
175
230
205
310
QCR = (nI + nIII − nII − nIV) / n
Verilenleri yaz: Soru 1'den x̄ = 100 m², ȳ = 210 kWh; n = 6; A (60, 150), B (75, 190), C (85, 175), D (105, 230), E (120, 205), F (155, 310).
Ne isteniyor? QCR ve yorumu.
Bölgelere göre sayım oranı: önce her noktanın bölgesini ortalama çizgilerine göre bul, sonra formülü uygula. Temsil: tablo; her satırın iki değeri ortalamayla karşılaştırılır.
Her dairenin bölgesi: A III, B III, C III, D I, E IV, F I.
Sayım: nI = 2, nII = 0, nIII = 3, nIV = 1.
Kural harfleriyle: QCR = (nI + nIII − nII − nIV) / n.
son adımı sen tamamla
Yerine koy: QCR = (2 + 3 − 0 − 1)/6 = 4/6 ≈ 0,67.
Yorum: artı ve 1'e yakın; bu sitede alanı büyük dairelerin tüketimi yüksek olma eğiliminde.
QCR = 4/6 ≈ 0,67; birlikte artma eğilimi
−1 ≤ 0,67 ≤ 1, aralıkta. 6 dairenin 5'i I ya da III'te; artı ve 1'e yakın bir sonuç bu görüntüyle uyumlu.
Uzun ve güvenli yol
Dört bölgeyi tek tek say: 2, 0, 3, 1. QCR = (2 + 3 − 0 − 1)/6 = 4/6.
Kısa ama koşullu yol
Yalnızca birlikte gidenleri say: nI + nIII = 5. Kalanlar ters gidenlerdir: 6 − 5 = 1. QCR = (5 − 1)/6 = 4/6.
Hangisi ne zaman? Kısa yol yalnızca hiçbir nokta ortalama çizgisinin üstünde değilse işler; o zaman her nokta ya birlikte gidenlerde ya ters gidenlerdedir. Bu kitapta öyle; başka kaynakta çizgi üstünde nokta varsa uzun yolu kullan.
Paydaya yalnızca I ve III'teki nokta sayısını yazmak: 4/5 = 0,8 çıkar. Payda her zaman toplam nokta sayısıdır (6).
SORU 3 ALIŞTIR
Şekilde bir evin 10 kış gününe ait günlük ortalama hava sıcaklığı (°C) ile doğalgaz tüketimi (m³) serpme diyagramı ve ortalama çizgileri (x̄ = 9 °C, ȳ = 9,5 m³) verilmiştir. Bölgelere göre sayım oranını bulunuz ve ilişkinin yönünü yorumlayınız.
QCR = (nI + nIII − nII − nIV) / n
Verilenleri yaz: n = 10 nokta (şekilde); x̄ = 9 °C, ȳ = 9,5 m³ çizgileri çizili.
Ne isteniyor? QCR ve ilişkinin yönü.
Bölgelere göre sayım oranı, şekilden sayımla. Temsil: grafik seçtim, çünkü ortalama çizgileri çizili ve bölge sayımı şekilden doğrudan yapılır.
Kural: bölgeler ortalama çizgilerine göre; I sağ üst, II sol üst, III sol alt, IV sağ alt.
Bölgeleri eksenler değil ortalama çizgileri ayırır.
Birlikte gidenler (I, III) artı, ters gidenler (II, IV) eksi girer; payda toplam nokta sayısı.
Yorum: eksi; hava ısındıkça doğalgaz tüketimi azalma eğiliminde.
QCR = −0,6; biri artarken öteki azalma eğilimi
Eksi sonuç, sağa doğru alçalan bulutla uyumlu: hava ısındıkça ısınmaya daha az yakıt harcanır. −1 ≤ −0,6 ≤ 1.
Uzun ve güvenli yol
Bölgeleri say, formülü uygula: QCR = −0,6. İşaret yönü verir.
Kısa ama koşullu yol
Buluta bak: sağa doğru alçalıyor, yön eksi.
Hangisi ne zaman? Yalnızca yön soruluyorsa ve bulut açıkça tek yöne gidiyorsa kısa yol yeter. Sayı isteniyorsa ya da bulut dağınıksa gözle karar verme; say.
II ile IV'ü artı saymak ya da I ile II'yi karıştırmak. Bölge adları sağ üstten başlar, saat yönünün tersine gider: I, II, III, IV.
SORU 4 UYGULA
Şekildeki üç serpme diyagramı (P, R, S) için bir yazılım r = 0,93, r = −0,70 ve r = 0,10 değerlerini karışık sırayla verdi. (a) Her diyagrama kendi r değerini eşleştiriniz. (b) Doğrusal ilişkisi en güçlü olan hangisidir?
−1 ≤ r ≤ 1; işaret yön, büyüklük güç
Verilenleri yaz: üç diyagram P, R, S; üç değer 0,93, −0,70, 0,10.
Ne isteniyor? (a) eşleştirme; (b) en güçlü doğrusal ilişki.
Grafikten sayıya çeviri: işaret yön, büyüklük güç. Temsil: grafik; her bulutun yönünü ve inceliğini gözle oku, sonra sayıyla eşleştir.
Kural: önce işaret (bulut yükseliyor mu, alçalıyor mu?), sonra büyüklük (bulut ne kadar dar?).
P: bulut sağa doğru alçalıyor → eksi değer: r = −0,70.
son adımı sen tamamla
R ve S: ikisi de eksi değil. S dar ve yükselen → r = 0,93; R'de belirgin yön yok → r = 0,10.
(b) büyüklükleri karşılaştır: 0,93 > 0,70 > 0,10 → en güçlü S.
(a) P: −0,70 · R: 0,10 · S: 0,93 · (b) S
Üç değer de −1 ile 1 arasında. En dar bulut en büyük büyüklüğü, yönsüz bulut 0'a en yakın değeri aldı; görüntüyle uyumlu.
−0,70'i "en zayıf" sanmak (eksi = zayıf yanılgısı). Güç büyüklükten okunur: 0,70, 0,10'dan büyüktür.
SORU 5 UYGULA
Tabloda 20 öğrencinin günlük kitap okuma süresi (dk) ve kelime testi puanı iki blok hâlinde verilmiştir. Ece ortalama çizgilerine göre saydı: nI = 8, nII = 1, nIII = 9, nIV = 2. Sonra tablodaki satır sayısını n aldı ve QCR = (8 + 9 − 1 − 2)/10 = 1,4 buldu.
Öğr.
Okuma (dk)
Puan
Öğr.
Okuma (dk)
Puan
1
5
40
11
30
72
2
8
48
12
32
64
3
10
45
13
35
70
4
12
55
14
38
78
5
15
50
15
40
85
6
15
62
16
42
59
7
18
58
17
45
80
8
20
52
18
50
88
9
22
66
19
55
82
10
24
60
20
60
95
(a) Bu sonuç neden mantıksızdır? (b) Hangi varsayım yanlıştır? (c) Doğru QCR kaçtır?
−1 ≤ QCR ≤ 1; n = nokta (gözlem birimi) sayısı
Verilenleri yaz: tabloda 10 satır, her satırda iki öğrenci; bölge sayıları 8, 1, 9, 2; Ece'nin sonucu 1,4.
Ne isteniyor? (a) neden mantıksız; (b) yanlış varsayım; (c) doğru QCR.
Mantıksız sonuç: çözüm yolu doğru görünüyor ama sonuç tanımın dışında. Önce aralık kontrolü yap, sonra hangi sayının yanlış olduğunu ara. Temsil: tablo; öğrenci sayısını tablodan say.
(a) Aralık kontrolü: pay, nokta sayısından büyük olamaz; bu yüzden −1 ≤ QCR ≤ 1. 1,4 > 1 olduğu için sonuç imkânsızdır; yol doğru görünse de bir sayı yanlış.
QCR'nin payı en fazla n olabilir; bu yüzden sonuç −1 ile 1 arasında kalır.
(b) Varsayım: "n = tablodaki satır sayısı". Oysa n, gözlem birimi (öğrenci) sayısıdır. Kontrol: bölge sayılarının toplamı 8 + 1 + 9 + 2 = 20.
n, tablodaki satır değil, nokta (gözlem birimi) sayısıdır.
0,7 aralıkta ve artı; 20 öğrencinin 17'si I ya da III'te, bulut yükseliyor. Bölge sayılarının toplamı n'ye eşit: 20.
Bir sonuç −1 ile 1 dışına çıkıyorsa formüle değil sayılara dön. En sık hata n'yi yanlış saymaktır: iki bloklu tabloda satır sayısı, öğrenci sayısının yarısıdır.
SORU 6 UYGULA
Bir kafede 8 günün sıcaklığı (°C) ve satılan limonata (bardak) tabloda verilmiştir. 9. gün mahallede festival var: 24 °C'de 150 bardak satılıyor.
Gün
1
2
3
4
5
6
7
8
Sıcaklık (°C)
22
24
26
28
30
32
34
36
Limonata (bardak)
20
30
25
40
45
40
55
60
Yazılım r'yi festival günü olmadan 0,95, festival günüyle −0,02 veriyor. (a) Festival günü eklenmeden ve eklendikten sonra QCR'yi bulunuz. (b) Aykırı değer hangi ölçüyü daha çok değiştirdi?
x̄ = Σx / n; QCR = (nI + nIII − nII − nIV) / n
Verilenleri yaz: 8 gün (tablo); 9. gün (24, 150); r: 0,95 → −0,02.
Ne isteniyor? (a) iki QCR; (b) hangi ölçü daha çok değişti.
Aykırı değerin etkisi: iki ölçüyü önce ve sonra hesapla, farkları karşılaştır. Temsil: tablo; ortalamalar ve bölgeler sayılarla bulunur.
Karşılaştır: QCR 0,75 → 0,33; r 0,95 → −0,02. r'nin değişimi çok daha büyük, işareti bile döndü.
(a) QCR: 0,75 → 0,33 · (b) r daha çok değişti (0,95 → −0,02)
Festival günü bulutun çok üstünde. r, noktaların uzaklığını da tarttığı için böyle bir noktaya çok duyarlıdır; QCR yalnızca bölge sayar. İki QCR de −1 ile 1 arasında.
Uzun ve güvenli yol
İki QCR'yi ve iki r'yi hesapla, farkları karşılaştır (yukarıdaki gibi).
Kısa ama koşullu yol
Grafiğe bak: nokta bulutun gidişinden çok uzaksa r çok değişir.
Hangisi ne zaman? Soru "ne kadar" diye soruyorsa ya da nokta sınırdaysa uzun yol. Yalnızca "etkiler mi?" soruluyorsa ve nokta açıkça uzaksa kısa yol yeter.
Festival gününü ekledikten sonra eski ortalamaları (29 ve 39,375) kullanmak. Yeni nokta gelince ortalamalar ve bölgeler yeniden hesaplanır.
SORU 7 DERİNLEŞ · istersen atla
B okulunda rastgele seçilen 40 öğrencinin günlük ekran süresi ve gece uyku süresi incelendi. Ortalama çizgilerine göre bölge sayıları: I: 4, II: 14, III: 6, IV: 16; yazılım r = −0,62 verdi. (a) QCR'yi bulunuz. (b) Araştırma sorusuna cevap veren bir sonuç cümlesi yazınız. (c) "Ekran süresini azaltan öğrenci daha çok uyur" ve "Bu sonuç ildeki bütün 11. sınıflar için geçerlidir" yargılarını değerlendiriniz.
QCR formülü; sonuç cümlesi kuralı; ilişki ≠ neden
Verilenleri yaz: n = 40 (rastgele, B okulu); nI = 4, nII = 14, nIII = 6, nIV = 16; r = −0,62.
Ne isteniyor? (a) QCR; (b) sonuç cümlesi; (c) iki yargının değerlendirmesi.
Sonuç yazma kuralı: iki değişken + yön + belirsizlik; sonra neden-sonuç ve genelleme sınırını kontrol et. Temsil: sözel; QCR hesabı yalnızca yönü doğrulamak için.
(a) QCR = (4 + 6 − 14 − 16)/40 = −20/40 = −0,5.
Birlikte gidenler artı, ters gidenler eksi; payda toplam nokta sayısı.
Yön kontrolü: QCR ve r ikisi de eksi; birbiriyle tutarlı.
(b) Sonuç cümlesi: "Bu örneklemde ekran süresi uzun olan öğrencilerin uyku süresi kısa olma eğilimindedir."
(c) Birinci yargı: neden-sonuç iddiası; veri bunu tek başına göstermez. Ders yükü ya da geç yatma alışkanlığı gibi bir üçüncü değişken ikisini birden etkileyebilir.
İlişkili olmak neden-sonuç anlamına gelmez; üçüncü değişken olabilir.
(c) İkinci yargı: örneklem yalnızca B okulundan rastgele seçildi; B okulunu temsil edebilir, ildeki bütün 11. sınıfları değil.
(a) QCR = −0,5 · (b) "Bu örneklemde ekran süresi uzun olanların uyku süresi kısa olma eğilimindedir." · (c) iki yargı da veriyle desteklenmez
QCR ile r aynı işaretli; alçalan bulutla uyumlu. Cümle "bu örneklemde" ve "eğilimindedir" diyor; veri bundan fazlasını söylemiyor.
(c)'de "rastgele seçildi, o hâlde her yere genellenir" demek. Rastgele seçim yalnızca seçildiği evreni (B okulu) temsil eder.
SORU 8 DERİNLEŞ · istersen atla
Bir haber sitesi: "Bir ilçenin 10 mahallesinde kafe sayısı ile kütüphane üye sayısı güçlü biçimde ilişkili (r = 0,88). Mahallenize kafe açarsanız insanlar daha çok okur." Haberin grafiği şekilde. İddiayı beş soruyla sınayıp kabul mü, çürütme mi gerektiğine karar veriniz.
Kural: iddiayı sına (beş soru)
Verilenleri yaz: 10 mahalle; x: kafe sayısı, y: kütüphane üyesi; r = 0,88; iddia: "kafe açarsanız daha çok okunur".
Ne isteniyor? Beş soruyla sınama ve karar.
İddiayı sınama: beş soruyu sırayla uygula; tek bir soru bile bozuksa o kısmı çürüt. Temsil: grafik ve sözel; grafikle r'yi, cümleyle veriyi karşılaştır.
buradan sonrasını sen çöz
Kimden? 10 mahalle, gözlem birimi mahalle; seçim yöntemi yazılmamış.
Aynı birim mi? Evet: her mahallenin iki sayısı var.
Grafik ile sayı: bulut sağa doğru yükseliyor ve dar; yazılım aynı noktalardan r = 0,88 buluyor. Tutarlı.
Dil: "kafe açarsanız daha çok okur" bir neden-sonuç iddiası. Mahalle nüfusu üçüncü değişken olabilir: kalabalık mahallede hem kafe çok olur hem üye.
Karar: "bu 10 mahallede kafe sayısı çok olanlarda üye sayısı yüksek olma eğilimindedir" kısmı kabul edilir. "Kafe açmak okumayı artırır" kısmı çürütülür; veri desteklemiyor.
Birlikte artma eğilimi kabul; neden-sonuç iddiası çürütülür (mahalle nüfusu üçüncü değişken olabilir)
Karar verinin söylediğiyle sınırlı: veri birlikte değişimi gösteriyor, neden-sonucu değil. Nüfusu hesaba katan yeni bir veri olmadan "kafe açınca okuma artar" denemez.
Grafik ile r tutarlı diye iddianın tamamını kabul etmek. Sayılar doğru olsa da haberin cümlesi verinin söylemediği bir şeyi söylüyor.
SINAV KÖŞESİ
Bir belediye yazın sıcak bir öğle saatinde 8 parkta ağaç sayısını ve zemin sıcaklığını (°C) ölçüyor.
Park
1
2
3
4
5
6
7
8
Ağaç sayısı
10
20
30
40
50
60
70
80
Zemin (°C)
48
45
47
42
44
40
43
38
Buna göre I. Ağaç sayısının ortalaması 45'tir. II. Ortalama çizgilerine göre bölgelere göre sayım oranı −0,5'tir. III. "Her parka ağaç dikilirse o parkın zemini kesinlikle serinler" sonucu bu veriden çıkar. yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III
Soruyu sökme: dört adım
Ne veriliyor? 8 park; her parkın iki ölçümü (ağaç, sıcaklık) aynı parktan.
Ne isteniyor? Üç yargının doğruluğu; şıklar öncül kombinasyonu.
Hangi kavram / şekil? I: ortalama. II: ortalama çizgileri + QCR. III: ilişki ≠ neden, eğilim ≠ kesin kural. İstersen tabloyu kaba bir serpme diyagramına çevir.
Birim kontrolü / okuma tuzağı: III'teki "kesinlikle" ve "her parka" sözlerine dikkat: veri eğilim gösterir, kesin kural değil.
Önce iki ortalamayı hesapla, sonra bölgeleri say; en son neden-sonuç iddiasını kuralla sına. Temsil: tablo; istersen kaba bir serpme diyagramı.
III: veri birlikte değişimi gösterir; neden-sonucu ve "her parkta kesinlikle" sonucunu göstermez. Ayrıca 5. park (50 ağaç, 44 °C) eğilime uymuyor. Yanlış.
C) I ve II
QCR eksi: ağaç sayısı çok olan parkların zemini serin olma eğiliminde; tablonun genel gidişiyle uyumlu. x̄ = 45, 10 ile 80 arasında.
D'yi ya da E'yi seçtiysen: "ilişki varsa neden de vardır" yanılgısı. B'yi seçtiysen ortalamayı hesaplamadan geçmişsin.
SINAV KÖŞESİ · a→b→c
Bir spor salonu 10 üyesinin haftalık antrenman süresini ve 1 km koşu süresini ölçüp şu grafiği paylaşıyor: "Antrenman süresi arttıkça koşu süresi kısalıyor; salonumuza gelen herkes hızlanır." Grafikte ortalama çizgileri de çizili (x̄ = 4,3 saat, ȳ = 6,23 dk).(a) Haftada 8 saat antrenman yapan üyenin 1 km süresi kaç dakikadır? (b) Bölgelere göre sayım oranı kaçtır? (c) Salonun cümlesindeki iki iddiayı değerlendiriniz.
Soruyu sökme: dört adım
Ne veriliyor? 10 üye, her birinin iki ölçümü; ortalama çizgileri çizili.
Ne isteniyor? (a) grafikten tek değer; (b) QCR; (c) iki iddianın değerlendirmesi.
Hangi kavram / şekil? (a) grafik okuma; (b) bölge sayımı + formül; (c) eğilim ≠ kesin kural, ilişki ≠ neden, örneklem kim?
Birim kontrolü / okuma tuzağı: düşey eksen süre: küçük değer daha hızlı demek. "herkes" sözü tuzak.
Önce doğrudan oku, sonra say ve hesapla, en son kurallarla yorumla. Temsil: grafik; üç adımın üçü de aynı şekilden.
(a) Doğrudan okuma: x = 8 hizasındaki nokta düşey eksende 5 çizgisinin üstünde → 5 dk.
(c) Çıkarım: "Antrenman süresi arttıkça koşu süresi kısalma eğiliminde" kısmı bu 10 üye için veriyle uyumlu (QCR eksi, bulut alçalıyor). "Salona gelen herkes hızlanır" kısmı desteklenmez: (1) eğilim her kişi için kural değildir, III. bölgedeki üye buna uymuyor; (2) veri neden-sonuç göstermez; (3) 10 üye, salona gelecek herkesi temsil etmeyebilir.