Kolay Hoca, zor dersleri çizgi roman gibi anlatır. Bu kitapta 9. sınıf matematiğinin her konusunu Ece ile robot arkadaşı Volt anlatıyor: kısa sahneler, hareket eden çizimler ve oynayıp deneyebileceğin küçük düzenekler. Konu kafaya yerleşince hemen soruya geçiyorsun.
ECE Lise öğrencisi. Soru sormayı sever, ezberden nefret eder. Senin yerine "bu ne demek şimdi?" diye soran o.
VOLT Kolay Hoca'nın robotu. Bu sefer kareli tahtanın başında: sayı doğrusu, koordinat düzlemi, akış şeması, pergel ve cetvelle çizerek anlatır.
Nasıl çalışılır? (3 dakika, bir kez oku)
Telefonu başka odaya koy ya da kitabı telefondan okuyorsan "Rahatsız Etme"yi aç. Telefon masada dururken, kapalı bile olsa, çalışma belleği düşüyor; bu ölçülmüş bir şey, laf değil.
Her bölümde önce tahmin et. Tahminin tutmazsa üzülme: en çok, tutmayan tahminden sonra okunan açıklama akılda kalıyor.
Okumak öğrenmek değildir. "Kendine sor" kutularının cevabını açmadan önce kendin söyle. Testte boş bırakmak serbest; kopya çekmek değil.
Testin ilk 8 sorusu sırayla, kalanı karışık. Sınav da karışık sorar; karışık çözen öğrenci bir ay sonra çok daha fazla hatırlıyor. Testi iki türlü çözebilirsin: Sınav modu (hepsini çöz, sonunda puanını gör) ya da Alıştırma modu (her soruda hemen geri bildirim; yanlış yaparsan ipucu kendiliğinden açılır).
Hesap sorularını defterde çöz. Ekranda göz gezdirmek yetmez; kâğıda yazdığın adım akılda kalır. Her ünitenin "Yazdırılabilir özet" sayfasını çıktı alıp yanında tutabilirsin.
Yanlışların bir deftere düşer. 3 gün sonra kitap sana hatırlatır; o gün yanlışlarına dönüp testi bir daha çözersen konu kalıcı olur. Gece 23'ten sonra yeni konu açma; uykusuz beyin gündüz öğrendiğini kaydedemez.
25 dakika çalış, 5 dakika ara. Bir oturumda bir bölüm yeter. Her gün az, her gün.
Her ünitede 5 adım var, sırayla git
1 · ÇİZGİ ROMANSahneleri oku, çizimler hareket ederken izle. "Kafaya yaz" kutusu o sahnenin tek cümlelik özeti.
2 · 8 SORUHangi formül hangi soruda kullanılır, önce onu gör. Sonra 8 soruyu adım adım çözülmüş olarak incele.
4 · ÇÖZÜMLER30 sorunun hepsi ayrı sayfada, anlatımıyla. Yanlış yaptıklarına mutlaka bak.
5 · KARIŞIK TEKRARÜnite başında çözdüğün 5 soruluk ön testin yeni hâli ve önceki ünitelerle karışık alıştırma. Ne kadar ilerlediğini burada görürsün.
Veli için bir sayfa · çocuğunuza nasıl destek olursunuz (2 dakika)
Bu kitap çocuğunuzun kendi başına çalışabilmesi için yazıldı. Araştırmalar, ailenin ilgisinin başarıyı artırdığını, baskısının ise azalttığını tutarlı biçimde gösteriyor. Yapabileceğiniz en etkili şeyler çoğunlukla küçük şeyler.
Ne yapmayın
Puanı sormayın, kıyaslamayın. "Kaç yaptın?", "Kuzenin kaç yapmış?" soruları kaygıyı artırır; kaygılı öğrenci daha az çalışır.
Yanlışı ayıplamayın. Bu kitapta yanlış bir veri; hangi adımda ayrıldığını gösterir. "Bunu nasıl bilmezsin" cümlesi öğrenmeyi keser.
Süre saymayın. "Üç saat çalıştın mı?" yerine ne çözdüğü önemli. Kitap da dakika değil soru sayar.
Ne yapın
Sessiz bir saat ayarlayın. Telefonun çalışılan odada olmaması, açık olmasa bile, dikkati ölçülebilir biçimde artırır.
Uykuyu koruyun. Gece 23'ten sonra yeni konu verimsizdir; uyku, gündüz öğrenileni kalıcı yapan süreçtir.
Haftada bir 10 dakika "süreç" sohbeti. "Bu hafta neyi anladın, nerede takıldın?" diye sorun ve dinleyin. Çözüm önermek zorunda değilsiniz.
Takıldığı konuyu öğretmenine sordurun. "Öğretmenden yardım alabiliyorum" diyen öğrenciler uluslararası ölçmelerde belirgin biçimde daha başarılı.
Sorularda gereken her sabit ve yaklaşık değer (ör. √2, √3, √5) sorunun içinde verilir. Hesap makinesi gerekmez; gerekiyorsa soruda yazar.
Bu kitap, Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı'nın (2026 sürümü) 9. sınıf kazanımlarına göre hazırlanmıştır.
1. TEMA · SAYILAR
Gerçek Sayılar: Üslü ve Köklü Gösterim, Aralıklar, Önermeler
Bir sayı birçok kılıkta yazılabilir; işlem kuralları, hangi kılığın işe yaradığını söyler.
Aynı sayı ondalıkla, üsle ya da kökle yazılabilir; bir sayı kümesi listeyle, aralıkla ya da sayı doğrusuyla gösterilebilir. Bu ünitede üslü ve köklü gösterimi, kümeleri ve aralıkları, sayı kümelerinin özelliklerini, önermeleri ve özdeşlikleri Ece ve Volt'la öğreneceksin. Atomun büyüklüğünü yazmak, bir arsaya çit almak ve bir iddianın doğru olup olmadığına karar vermek bu fikirlerle yapılır.
Üslü gösterim: tam sayı üsten rasyonel üsse
MAT.9.1.1 (a–c) · Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri
Bu bölümde: Üs kurallarını örüntüden bulmayı; sıfır, negatif ve kesirli üssün neden öyle tanımlandığını; −32 ile (−3)2 farkını ve bilimsel gösterimi öğreneceksin.≈ 11 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
üslü gösterim — tekrarlı çarpmanın kısa yazılışı · bu değildir: tabanla üssün çarpımı: 23 ≠ 2·3
taban — tekrar tekrar çarpılan sayı · bu değildir: üsteki küçük sayı
Varyant 3: yalnızca taban −2 oldu: (−2)3·(−2)2. Sonuç artar mı, azalır mı, aynı mı?
Azalır: (−2)5 = −32. Üs tek olduğu için işaret eksi kalır.
Karşı-örnek: Tabanlar farklıysa üsler toplanmaz: 23·32 = 8·9 = 72, ama 65 = 7776. Kural yalnızca aynı tabanlı kuvvetlerde çalışır.
Üs merdiveni
Önce tahmin: 2−2 pozitif mi, negatif mi? 101/2 hangi iki tam sayı arasındadır? Kendine söyle, sonra dene.
Kaydırıcı üssü seçer, düğmeler tabanı. Kırmızı üçgen merdivende nerede olduğunu gösterir; alttaki satır kuralın neden bozulmadığını yazar.
Derine in (isteğe bağlı): 00 ve 0−1 neden tanımsız?
Program bu soruyu zenginleştirme olarak veriyor. a0 = 1 tanımı a ≠ 0 içindir. 0 için iki örüntü çatışır: 03 = 0, 02 = 0, 01 = 0 örüntüsü 00 için 0 der; 50 = 1, 20 = 1 örüntüsü 1 der. Bu yüzden bu kitapta 00 tanımsız bırakılır.
0−1 = 1/01 = 1/0 olurdu; sıfıra bölme tanımlı değildir. Negatif üs yalnızca sıfırdan farklı tabanda kullanılır.
Verilen temsil sözel: "Işık bir yılda yaklaşık 9.460.000.000.000.000 m yol alır" (IAU tanımından yuvarlanmış). Ötekini üret: (1) sayıyı bilimsel gösterimle yaz; (2) Dünya–Güneş uzaklığı 1,5·1011 m; ışık yılı bunun yaklaşık kaç katı? (3) Üslü cetvelde iki nokta arasında kaç basamak var?
Cevabı göster
Üç temsil yan yana. Sözel: 9.460.000.000.000.000 m. Bilimsel: virgül 15 basamak sola kayar, 9,46·1015 m. Oran: 9,46·1015 : (1,5·1011) = (9,46 : 1,5)·1015 − 11 ≈ 6,3·104; yaklaşık 63.000 kat. Cetvel: 1011 ile 1015 arasında 15 − 11 = 4 basamak.
Sayı neye karşılık? Üs farkı 4 ↔ cetvelde 4 basamak ↔ oranın yaklaşık 104 olması. Baştaki 9,46 ile 1,5 oranı ↔ 6,3 çarpanı.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: sözel sayıdaki 15 sıfırlık uzunluk ile 1015 üssü.
(−2)3 − 22 + 20 işleminin sonucunu bul. Ece'nin çözümü aşağıda. Hangi adımda yanlış yaptı?
(−2)3 = (−2)·(−2)·(−2) = −8.
−22 terimi: eksiyi tabana kattım: (−2)·(−2) = 4.
20 = 1 (tanım).
Topla: −8 + 4 + 1 = −3.
Hata 2. adımda (üs ve işaret). Üs yalnızca doğrudan solundaki 2'ye uygulanır: −22 = −(2·2) = −4. Doğrusu: −8 − 4 + 1 = −11. 4. adım, 2. adımdaki hatayı taşıdı; toplamanın kendisi doğru.
Kendine sor: (−1)100 ile −1100 aynı sayı mı? Cevap
Hayır. (−1)100 = 1, çünkü taban −1 ve üs çift. −1100 = −(1100) = −1, çünkü üs yalnızca 1'e uygulanır.
Köklü gösterim, eşlenik ve yaklaşık değer
MAT.9.1.1 (ç–f) · Gerçek Sayıların Üslü ve Köklü Gösterimleri
Bu bölümde: Köklü gösterimle çarpıp bölmeyi, kök dışına çıkarmayı, benzer kökleri toplamayı, √a + √b ≠ √(a + b) olduğunu, eşlenikle paydayı rasyonel yapmayı ve yaklaşık değerle hesap yapmayı öğreneceksin.≈ 10 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
karekök — karesi a eden negatif olmayan sayı · bu değildir: sayının yarısı: √16 ≠ 8
eşlenik — işareti ters çevrilmiş kök ikilisi · bu değildir: sayının tersi (1/x)
benzer kök — kök içleri aynı olan terimler · bu değildir: katsayıları aynı olan terimler: 2√3 ile 2√5
yaklaşık değer — gerçek değere yakın sayı · bu değildir: tam değer: √2 = 1,41 değil, √2 ≈ 1,41
30 saniye
√16 + √9 kaça eşittir?
Ne kadar eminsin?
7: √16 = 4 ve √9 = 3, toplam 7. √25 = 5 değil; kök toplamaya dağılmaz. İlk sahnede nedenini bir dik üçgende göreceksin.
Tahta. Volt kenarları 3 ve 4 birim olan bir dik üçgen çiziyor.
ECE: √((−5)2) = −5; kök ile kare birbirini götürür.
VOLT: Önce içi: (−5)2 = 25. √25 = 5, çünkü karekök hiçbir zaman negatif çıkmaz.
Paydasında kök olan bir kesir: 4/(√5 − 1).
ECE: Paydada kök var; ondalıkla bölmekten başka yol yok.
VOLT: Pay ve paydayı eşlenikle, √5 + 1 ile çarp. Payda (√5 − 1)(√5 + 1) = 5 − 1 = 4 olur; kök gider.
√((−7)2) kaçtır?
Önce içi: (−7)2 = 49; √49 = 7. Genel kural √(a2) = |a|: |−7| = 7. Karekökün içi 49, negatif değil; tanımsızlık yok.
Kenarı 10 m olan kare bir bahçenin köşegenine ip gerilecek; Volt iki yaklaşık değerle hesaplıyor.
ECE: √2 yerine 1,41 de yazsam 1,414 de yazsam aynı sonuç çıkar.
VOLT: Fark küçük ama var: 14,1 m ile 14,14 m arasında 4 cm. Yuvarladıkça hata payı büyür; tam metre alacaksan yukarı yuvarla.
Bence √16 + √4 = √20; kök, toplamaya da dağılır.
Ama bu yanlış.
kök yalnızca çarpmada ve bölmede dağılır: √(16·4) = √16·√4 = 4·2 = 8. Toplamada dağılmaz: √16 + √4 = 4 + 2 = 6, ama 62 = 36 ≠ 20. Dik üçgen resmi bunu gösterir: iki dik kenar boyunca yürümek, hipotenüsten uzundur.
am/n = n√(am) (a > 0) √a · √b = √(a·b)
Kelimelerle: kesirli üste payda kök derecesi, pay kuvvettir. Karekök çarpmada ve bölmede dağılır, toplamada dağılmaz.Harfler: a, b ≥ 0 (bölmede b > 0) · m: kuvvet · n: kök derecesi. Örnek: 82/3 = ∛(82) = ∛64 = 4.
Varyant 2: yalnızca çarpma bölmeye döndü: √(144/9) ile √144 : √9. Sonuç artar mı, azalır mı, aynı mı?
Aynı: √16 = 4 ve 12 : 3 = 4. Bölmede kök dağılır.
Varyant 3: yalnızca iki sayı negatif oldu: √((−9)·(−16)). Sonuç artar mı, azalır mı, aynı mı?
Aynı: (−9)·(−16) = 144 ve √144 = 12. Ama √(−9)·√(−16) yazılamaz; negatif sayının karekökü gerçek sayı değil.
Karşı-örnek: √(a·b) = √a·√b kuralı a ve b negatifken kullanılamaz: √((−4)·(−9)) = √36 = 6, ama √(−4) gerçek sayı değildir.
Uzun ve güvenli yol
Sadeleştir: √50 = 5√2, √18 = 3√2; toplam 8√2. Sonuç tam; yaklaşık değer gerekmez.
Kısa ama koşullu yol
Yaklaşık değerle topla (√50 ≈ 7,07 ve √18 ≈ 4,24 verilmişse): 7,07 + 4,24 = 11,31.
Hangisi ne zaman? Tam sonuç isteniyorsa sadeleştir. Yaklaşık değerler verilmişse ve yalnız büyüklük gerekiyorsa ondalık yol kısadır. İki yolu karşılaştırmak da bir kontroldür: √2 ≈ 1,414 ile 8√2 ≈ 8·1,414 = 11,312.
Verilen temsil şekil: alanı 7 birim kare olan bir kare. Ötekini üret: (1) kenar uzunluğunu köklü gösterimle yaz; (2) kenar hangi iki ardışık tam sayı arasında? (3) Sayı doğrusunda yaklaşık yerini göster (√7 ≈ 2,65 verilmiş).
Cevabı göster
Üç temsil yan yana. Şekil: alan 7, kenar k. Sembol: k2 = 7 ve k > 0 olduğu için k = √7. Ardışık tam sayılar: 22 = 4 < 7 < 9 = 32, yani 2 < √7 < 3. Sayı doğrusu: 2,65 noktası; 3'e daha yakın.
Sayı neye karşılık? Karenin alanı ↔ kök içindeki 7 ↔ kenarın karesi. Kenar ↔ sayı doğrusundaki noktanın 0'a uzaklığı.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: karenin kenarı ile sayı doğrusunda 0'dan kırmızı noktaya kadar olan parça.
Mantıksız sonuç avı. Alanları 9 m2 ve 16 m2 olan iki kare döşemenin karoları sökülüp tek bir kare döşemeye diziliyor; karo artmıyor, eksilmiyor (kurgusal). Yeni karenin kenarı kaç metre olur? Ece'nin yolu doğru görünüyor ama sonuç saçma. Hangi adımdaki varsayım yanlış?
Toplam alan korunur: 9 + 16 = 25 m2.
Yeni karenin kenarı, alanın kareköküdür: √(9 + 16).
Kök toplamaya dağılır: √(9 + 16) = √9 + √16.
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 m.
Yeni döşemenin alanı: 72 = 49 m2.
Hata 3. adımda (kök dağıtma). Sonuç mantıksız: 25 m2'lik karodan 49 m2'lik döşeme çıkmaz. Kök toplamaya dağılmaz; √(9 + 16) = √25 = 5 m. Kontrol: 52 = 25 m2, karo sayısı tutuyor. 4. ve 5. adımlar hatayı taşıdı; kendi hesapları doğru.
Kendi kendini puanla · kâğıtta çöz. 1/(√7 − √5) ifadesinin paydasını eşlenikle rasyonel yap. Sonra sonucu iki yolla doğrula: √7 ≈ 2,65 ve √5 ≈ 2,24 değerleriyle hem ilk ifadeyi hem sonucu hesapla. İki sonuç neden tam aynı çıkmıyor? Yazdıktan sonra aç.
Fark yuvarlamadan gelir: √7 ve √5 iki basamakla yazıldı. Birbirine yakın iki sayıyı çıkarmak, yuvarlama hatasını büyütür; eşlenikli biçim bu yüzden daha güvenilirdir.
Eşleniği doğru seçip paydayı a − b biçiminde hesapladım.
İki biçimi de verilen yaklaşık değerlerle ayrı ayrı hesapladım.
Farkın yuvarlamadan geldiğini gerekçesiyle yazdım.
Kendine sor: √(−16) bir gerçek sayı mıdır? Neden? Cevap
Hayır. Hiçbir gerçek sayının karesi negatif olmaz: 42 = 16 ve (−4)2 = 16. Karekökün içi negatifse sonuç gerçek sayı değildir.
Kümeler ve gerçek sayı aralıkları
MAT.9.1.2 (a–c) · Gerçek Sayı Aralıkları ve Küme Sembolleri
Bu bölümde: Kümeyi listeyle ve ortak özellikle yazmayı; alt küme, boş küme, birleşim, kesişim, fark ve tümlemeyi; aralıkları sayı doğrusu, eşitsizlik ve küme gösterimiyle yazmayı ve |x − a| < r gösteriminin anlamını öğreneceksin.≈ 13 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
eleman — kümenin içindeki her sayı · bu değildir: kümenin kendisi: 2 ile {2} farklı
boş küme — hiç elemanı olmayan küme: ∅ · bu değildir: {0} kümesi (bir elemanı var: 0)
aralık — iki sayı arasındaki bütün gerçek sayılar · bu değildir: yalnızca aradaki tam sayılar
tümleme — evrensel kümede olup kümede olmayanlar · bu değildir: kümenin negatifleri
30 saniye
{0} kümesi boş küme midir?
Ne kadar eminsin?
Hayır. {0} kümesinin bir elemanı var, 0 sayısı: s({0}) = 1. Boş kümenin hiç elemanı yoktur: s(∅) = 0. İkinci sahnede ikisini yan yana göreceksin.
Tahta. Volt aynı kümeyi iki farklı biçimde yazıyor.
ECE: Bir kümeyi yazmanın tek yolu elemanlarını tek tek saymak.
VOLT: İki yol var: listeleme ve ortak özellik. {x | x < 10, x çift doğal sayı} aynı kümeyi anlatır.
Volt alt kümeyi ve boş kümeyi gösteriyor.
ECE: {0} boş küme; içinde sıfır var, yani hiçbir şey yok.
VOLT: {0} kümesinin bir elemanı var: 0 sayısı. Boş kümenin hiç elemanı yok; ∅ ya da { } diye yazılır.
A = {1, 2, 3} için hangisi doğrudur?
{2}, yalnızca 2'den oluşan bir küme; tek elemanı A'da olduğu için {2} ⊆ A. 2 bir sayıdır, küme değil: 2 ∈ A yazılır. {2} ise A'nın elemanı değil; A'nın elemanları 1, 2, 3 sayıları.
Volt 12'nin ve 8'in bölenlerini iki çembere yerleştiriyor.
ECE: Birleşimin eleman sayısı kolay: 6 + 4 = 10.
VOLT: Ortadaki 1, 2 ve 4 iki kez sayıldı. s(A ∪ B) = 6 + 4 − 3 = 7.
Volt sayı doğrusunda −2 ile 5 arasını boyuyor.
ECE: [−2, 5) aralığında 5 de var; aralığın son sayısı 5.
VOLT: Yuvarlak parantez "dahil değil" demek; sayı doğrusunda boş daire. 4,9 da 4,99 da aralıkta, 5 değil.
x ≥ 3 eşitsizliğinin aralık gösterimi hangisidir?
3 dahil: köşeli parantez. ∞ bir sayı değildir, dahil edilemez: yanında hep yuvarlak parantez. Cevap [3, ∞).
İki aralık, üç işlem: Volt sonuçları alt alta çiziyor.
ECE: A \ B'de 1 de çıkar; çünkü 1, B'nin ucu.
VOLT: B = (1, 5] 1'i içermiyor; orada boş daire var. 1, A'da var ve B'de yok: A \ B'de kalır.
Bir aralık, mutlak değer sembolüyle yazılıyor.
ECE: |x − 3| < 1 gösterimi bana bir denklem gibi geliyor; çözmem gerekir.
VOLT: Burada bir aralığı anlatıyor: 3'e uzaklığı 1'den az olan sayılar. Merkez 3, yarıçap 1: (2, 4).
Bence {0} boş kümedir; içinde yalnızca sıfır var.
Ama bu yanlış.
boş kümenin hiç elemanı yoktur: s(∅) = 0. {0} kümesinin bir elemanı var, 0 sayısı: s({0}) = 1. Aynı dikkat ∈ ile ⊆ arasında da gerekir: 5 ∈ {5} ve {5} ⊆ {5} doğrudur, ama {5} ∈ {5} yanlıştır.
Yazılış: listeleme {0, 2, 4, 6, 8}; ortak özellik {x | x < 10, x çift doğal sayı}. a ∈ A: a, A'nın elemanıdır; a ∉ A: değildir. s(A): eleman sayısı.
Alt küme: A ⊆ B: A'nın her elemanı B'de. ∅ her kümenin alt kümesidir; {0} ≠ ∅.
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B)
Kelimelerle: birleşimin eleman sayısı: iki kümenin eleman sayıları toplanır, ortak elemanların sayısı bir kez çıkarılır.Harfler: A ∪ B: en az birinde olanlar · A ∩ B: ikisinde de olanlar · A \ B: A'da olup B'de olmayanlar · A': evrensel kümede olup A'da olmayanlar.
Aralıklar (evrensel küme ℝ): [a, b] ⇔ a ≤ x ≤ b; (a, b) ⇔ a < x < b; [a, b) ⇔ a ≤ x < b; (a, b] ⇔ a < x ≤ b. Köşeli parantez: uç dahil, dolu daire. Yuvarlak parantez: uç hariç, boş daire. ∞ ve −∞ yanında hep yuvarlak parantez.
Mutlak değerle aralık: |x − a| < r ⇔ a − r < x < a + r ⇔ (a − r, a + r): a'ya uzaklığı r'den az olan sayılar. |x − a| ≤ r ise uçlar dahil: [a − r, a + r].
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden kuralı ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Çapa: A = [1, 5], B = [3, 7]: A ∩ B = [3, 5].
Varyant 1: yalnızca A'nın sağ ucu açık oldu: A = [1, 5). Kesişim artar mı, azalır mı, aynı mı?
Azalır, tek bir sayı kadar: A ∩ B = [3, 5). 5 artık yok.
Varyant 2: yalnızca B sağa kaydı: B = [6, 10]. Kesişim artar mı, azalır mı, aynı mı?
Azalır: A ∩ B = ∅. Ortak sayı kalmadı.
Varyant 3: yalnızca B'nin sol ucu 5 oldu: B = [5, 7]. Kesişim artar mı, azalır mı, aynı mı?
Azalır: A ∩ B = {5}, tek bir sayı. İki aralıkta da 5'in ucu kapalı; 5 ikisinde de var.
Karşı-örnek: "İki aralığın birleşimi bir aralıktır" kuralı çalışmaz: [1, 2] ∪ [4, 5] tek bir aralık değildir; arada 3 gibi sayılar eksik.
Aralık tezgâhı
Önce tahmin: [1, 4) ile (4, 6] aralıklarının kesişimi boş mu? Kendine söyle, sonra dene.
Kaydırıcılar uçları taşır; uç düğmeleri "dahil / hariç" arasında değişir. İşlem düğmesi sonucu yeşil doğruda ve üç gösterimde yazar. "|x − a| < r" düğmesi merkez ve yarıçapla aralık kurar.
Derine in (isteğe bağlı): üç kümeli Venn şeması
Programda yok; merak edersen. Üç küme için: s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) − s(A ∩ B) − s(A ∩ C) − s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C).
Örnek: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, C = {4, 5, 6}. 4 + 3 + 3 − 2 − 1 − 2 + 1 = 6; gerçekten A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Üç kez sayılan 4, üç kez çıkarılır; bu yüzden sonda bir kez eklenir.
Verilen temsil sayı doğrusu: aşağıdaki boyalı parça. Ötekini üret: (1) eşitsizlik; (2) aralık gösterimi; (3) küme gösterimi; (4) bu aralıkta kaç tam sayı var?
Cevabı göster
Üç temsil yan yana. Eşitsizlik: −3 ≤ x < 2. Aralık: [−3, 2). Küme: {x ∈ ℝ | −3 ≤ x < 2}. Tam sayılar: −3, −2, −1, 0, 1; yani 5 tane. 2 dahil değil.
Sayı neye karşılık? Dolu daire ↔ ≤ ↔ köşeli parantez. Boş daire ↔ < ↔ yuvarlak parantez.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: 2'deki boş daire ile aralıktaki ")" işareti.
A = [−2, 4) ve B = [1, 6] için A \ B kümesini bul. Ece'nin çözümü aşağıda. Hangi adımda yanlış yaptı?
A: −2 ≤ x < 4. B: 1 ≤ x ≤ 6.
A \ B: A'da olup B'de olmayan sayılar.
A ile B'nin ortak kısmı: [1, 4).
Ortak kısmı A'dan çıkarınca kalan: −2 ≤ x ≤ 1, yani [−2, 1].
Sonuç: A \ B = [−2, 1].
Hata 4. adımda (aralık ucu). 1, B'nin elemanı (B'nin sol ucu köşeli parantez). O hâlde 1, A \ B'de olamaz: sağ uç açık olmalı. Doğrusu: A \ B = [−2, 1), yani −2 ≤ x < 1. 5. adım, 4. adımdaki hatayı taşıdı.
Kendine sor: Evrensel küme ℝ iken (−∞, 2] aralığının tümlemesi nedir? Cevap
(2, ∞). 2 aralıkta olduğu için tümlemede yok; bu yüzden 2'nin yanına yuvarlak parantez gelir. ∞ yanında da yuvarlak parantez.
Sayı kümeleri: sıralılık, arada olma, kapalılık
MAT.9.1.3 (a–f) · Sayı Kümeleri ve İşlem Özellikleri
Bu bölümde: ℕ, ℤ, ℚ, ℚ' ve ℝ kümelerini; sıralı olma ve arada olma özelliklerini; hangi kümenin hangi işleme göre kapalı olduğunu ve bir önermeyi ispatlamayı ya da karşı örnekle çürütmeyi öğreneceksin.≈ 12 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
kapalılık — işlem sonucu aynı kümede kalır · bu değildir: kümenin sonlu olması
arada olma — iki sayı arasında başka sayı · bu değildir: sayıların ardışık olması
karşı örnek — önermeyi bozan tek örnek · bu değildir: önermeyi doğrulayan örnek
irrasyonel sayı — kesir olarak yazılamayan gerçek sayı · bu değildir: kök içeren her sayı: √4 = 2 rasyonel
30 saniye
0,5 ile 0,6 arasında kaç tane sayı vardır?
Ne kadar eminsin?
Sonsuz tane. 0,55 arada; 0,5 ile 0,55 arasında 0,525 var; bu hiç bitmez. 0,51 … 0,59 yalnızca iki basamaklı olanlar. İkinci sahnede büyüteçle göreceksin.
Tahta. Volt sayı kümelerini iç içe kutular olarak çiziyor.
ECE: √4 kök içerdiği için irrasyonel olmalı.
VOLT: √4 = 2; 2 hem doğal sayı hem rasyonel. İrrasyonel sayı, kesir olarak yazılamayan sayıdır: √2 gibi.
Volt 0,5 ile 0,6 arasına büyüteçle bakıyor.
ECE: 0,5 ile 0,6 arasında sayı yok; ikisi yan yana.
VOLT: Ortalamayı al: (0,5 + 0,6) : 2 = 0,55. Sonra 0,5 ile 0,55'in ortalaması 0,525; bu hiç bitmez.
Hangi kümede "iki sayının arasında aynı kümeden başka bir sayı vardır" özelliği yoktur?
ℤ'de 2 ile 3 arasında tam sayı yok. ℚ'de ve ℝ'de iki sayının ortalaması hep aradadır ve aynı kümededir.
Volt dört işlemi dört kümede deniyor: sonuç yine kümede mi?
ECE: İki tam sayının farkı hep tam sayı; doğal sayılarda da öyle.
VOLT: ℕ'de dene: 2 − 5 = −3, doğal sayı değil. Tek karşı örnek, "kapalıdır" iddiasını yıkar.
Ece'nin tahtası. Ece "iki rasyonel sayı arasında her zaman bir rasyonel sayı vardır" önermesini ispatlıyor; Volt yalnızca soru soruyor.
VOLT: Neden böyle dedin? Nereden biliyorsun?
ECE: ps + qr ve 2qs tam sayı, çünkü ℤ toplamaya ve çarpmaya göre kapalı. q ile s sıfır değil; 2qs de sıfır olmaz.
Önerme: "İki irrasyonel sayının toplamı irrasyoneldir." Hangisi bu önermeyi çürütür?
√2 ve −√2 irrasyonel ama toplamları 0, rasyonel. Tek karşı örnek önermeyi çürütür. Öteki iki toplam irrasyonel; önermeyi desteklese de ispatlamaz.
Bir önerme ve dört örnek: Volt ispat ile örneği ayırıyor.
VOLT: Bir örnek ispat değildir. √2·√2 = 2 rasyonel: tek karşı örnek önermeyi çürütür.
Bence 0,5 ile 0,6 arasında sayı yoktur; ikisi yan yana.
Ama bu yanlış.
iki rasyonel sayının ortalaması hep ikisinin arasındadır: 0,55 arada, 0,5 ile 0,55 arasında 0,525 var. Bu işlem hiç bitmez; iki farklı rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır. "Yan yana" sayılar yalnız ℕ'de ve ℤ'de olur: 2 ile 3 gibi.
Sayı kümeleri: ℕ = {0, 1, 2, …} ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. ℚ': irrasyonel sayılar, yani kesir olarak yazılamayanlar (√2, π). ℚ ∪ ℚ' = ℝ ve ℚ ∩ ℚ' = ∅.
Sıralı olma: kümenin bütün elemanları küçükten büyüğe dizilebilir. Arada olma: ℚ'de ve ℝ'de her iki sayının arasında aynı kümeden bir sayı vardır: (a + b) : 2. ℕ'de ve ℤ'de yoktur: 2 ile 3 arasında tam sayı yok.
Kapalılık: kümeden alınan her iki sayı için işlemin sonucu yine kümedeyse küme o işleme göre kapalıdır. ℕ: + ve ·. ℤ: +, − ve ·. ℚ ve ℝ: +, − ve · (bölmede yalnız 0'a bölme bozar). ℚ': dört işlemin hiçbirinde kapalı değil.
İspat ve çürütme: doğrudan ispatta hipotezden hükme adım adım gidilir. "Her" önermesini çürütmek için tek karşı örnek yeter; ama örnekler ispat değildir.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden kuralı ve örneğini bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Kapalılık avcısı
Önce tahmin: ℤ bölmeye göre kapalı mı? ℚ' çarpmaya göre kapalı mı? Kendine söyle, sonra dene.
Bir küme ve bir işlem seç, sonra "İki sayı üret" düğmesine bas. Sonuç kümeden çıkarsa o hücre bir karşı örnekle kapanır. Kapanmayan hücre için örnek yetmez; "Tabloyu göster" gerekçesini yazar.
Derine in (isteğe bağlı): √2 neden kesir olarak yazılamaz?
Programın doğrudan ispat ve karşı örnek yöntemlerine ek bir yol: olmayana ergi. Tersini varsay: √2 = p/q ve kesir sadeleşmiş (p ile q'nun ortak böleni yok).
Karesini al: 2 = p2/q2, yani p2 = 2q2. p2 çift, o hâlde p çift: p = 2k. Yerine koy: 4k2 = 2q2, yani q2 = 2k2; q de çift. p ile q'nun ikisi de çift çıktı; kesir sadeleşmiş değilmiş. Varsayım çelişki doğurdu; √2 kesir olarak yazılamaz.
Verilen temsil liste: −7, 0, 3/4, √9, √5, −√16, 1,25. Ötekini üret: her sayıyı aşağıdaki iç içe kutularda, içinde bulunduğu en küçük kümeye yerleştir.
Cevabı göster
Yerleşim. ℕ: 0 ve √9 (= 3). ℤ'de olup ℕ'de olmayan: −7 ve −√16 (= −4). ℚ'de olup ℤ'de olmayan: 3/4 ve 1,25 (= 5/4). ℚ': √5.
Sayı neye karşılık? Kök içindeki sayı tam kare ise (9, 16) kök rasyoneldir; değilse (5) irrasyoneldir. Ondalık 1,25 bir kesirdir: 125/100.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: listedeki √9 ile ℕ kutusundaki 3: aynı sayının iki yazılışı.
Önerme: "Her n doğal sayısı için n2 + n + 11 asal sayıdır." Ece bu önermeyi "ispatlıyor". Hangi adımda yanlış yaptı?
n = 0: 0 + 0 + 11 = 11; n = 1: 1 + 1 + 11 = 13. İkisi de asal.
n = 2: 4 + 2 + 11 = 17; n = 3: 9 + 3 + 11 = 23. İkisi de asal.
n = 4: 16 + 4 + 11 = 31; n = 5: 25 + 5 + 11 = 41. İkisi de asal.
Altı farklı sayıda tuttu; demek ki önerme her n için doğrudur.
Sonuç: önerme doğru.
Hata 4. adımda (örnekle genelleme). Örnekler bir önermeyi ispatlamaz; "her" önermesini yalnızca genel bir gerekçe ispatlar. Karşı örnek: n = 10 için 100 + 10 + 11 = 121 = 11·11, asal değil. Önerme yanlış. 1–3. adımlardaki hesaplar doğru; 5. adım, 4. adımdaki yanlış çıkarımı taşıdı.
Kendi kendini puanla · kâğıtta çöz. İspatla: iki rasyonel sayının toplamı rasyoneldir. Hipotezi ve hükmü ayrı yaz; her adımda neye dayandığını söyle. Yazdıktan sonra aç.
Tam puan çözüm şuna benzer
Hipotez: a = p/q ve b = r/s; p, q, r, s tam sayı, q ≠ 0, s ≠ 0. Hüküm: a + b rasyoneldir.
a + b = p/q + r/s = (ps + qr)/(qs).
ps + qr ve qs tam sayıdır, çünkü ℤ çarpmaya ve toplamaya göre kapalı. qs ≠ 0, çünkü q ve s sıfır değil.
Payı ve paydası tam sayı, paydası sıfırdan farklı bir kesir rasyoneldir; hüküm gösterildi. Örnekle kontrol: 1/2 + 1/3 = 5/6.
Hipotezi ve hükmü ayrı ayrı yazdım.
Pay ile paydanın neden tam sayı olduğunu kapalılıkla gerekçelendirdim.
Paydanın sıfır olmadığını gösterdim.
Kendine sor: ℚ' kümesi çarpma işlemine göre kapalı mıdır? Neden? Cevap
Hayır. √2 ve √8 irrasyonel; √2·√8 = √16 = 4 rasyonel. Tek karşı örnek yeter.
Önermeler, bağlaçlar ve niceleyiciler
MAT.9.1.4 (a–b) · Gerçek Sayıların İşlem Özelliklerini Cebirsel Olarak İfade Etme
Bu bölümde: Önermeyi ve değilini; ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak bağlaçlarını; her ve bazı niceleyicilerini; işlem özelliklerini sembolle yazmayı ve bir önerme ile karşıtının farkını öğreneceksin.≈ 10 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
önerme — doğru ya da yanlış olan hüküm · bu değildir: soru ya da emir cümlesi
önermenin değili — doğruluk değeri tersine dönen önerme · bu değildir: sayının negatifi
niceleyici — "her" ya da "bazı" kelimesi · bu değildir: bir sayının kaç tane olduğu
karşıt önerme — "ise"nin iki yanını yer değiştirmek · bu değildir: önermenin değili
30 saniye
"x = 2 ise x2 = 4" doğrudur. "x2 = 4 ise x = 2" de doğru mudur?
Ne kadar eminsin?
Hayır. (−2)2 = 4 ama −2 ≠ 2: karşıt önerme yanlış. Bir önerme ile karşıtı aynı şey değildir; üçüncü sahnede sayı doğrusunda göreceksin.
Tahta. Volt cümleleri iki gruba ayırıyor: önerme olanlar ve olmayanlar.
ECE: "Bu soru zor mu?" da bir önerme; cevabı evet ya da hayır.
VOLT: Önerme, doğru ya da yanlış diye karar verilebilen hükümdür. Soru cümlesi doğru ya da yanlış olmaz.
Volt 1'den 12'ye kadar sayıları üç kuralla boyuyor.
ECE: "Çift veya 3'ün katı" deyince 6 dışarıda kalır; ikisi birden olmaz.
VOLT: Matematikte "veya" en az biri demek; 6 içeride. "Yalnız biri" demek istersen "ya da" kullanılır.
x = 9 için p: "x çifttir", q: "x 3'ün katıdır". Hangisi doğrudur?
p yanlış (9 tek), q doğru (9 = 3·3). "Ve" ikisinin de doğru olmasını ister: yanlış. "Veya" en az birini ister: doğru. "Ya da" yalnız birini ister: doğru; yani "p ⊻ q yanlış" sözü yanlış.
Volt bir "ise" önermesini sayı doğrusunda çiziyor.
ECE: "x > 2 ise x > 0" doğruysa, "x > 0 ise x > 2" de doğrudur.
VOLT: Sayı doğrusuna bak: (2, ∞), (0, ∞)'un içinde. Tersi değil: x = 1 pozitif ama 2'den büyük değil.
Volt "ise" bağlacının doğruluk tablosunu kuruyor.
ECE: p yanlışsa "p ise q" de yanlış olmalı.
VOLT: "Yağmur yağarsa şemsiye açarım" sözünü ne zaman bozarsın? Yalnız yağmur yağıp şemsiye açmadığında.
p: "4 tek sayıdır", q: "4 < 5". p ⇒ q önermesinin doğruluk değeri nedir?
p yanlış, q doğru. "İse" yalnızca p doğru ve q yanlışken yanlıştır; burada öyle değil. p ⇒ q doğrudur.
Volt "her" ve "bazı" kelimelerini sembollerle yazıyor.
ECE: "Her sayının karesi pozitiftir" önermesinin değili: "Hiçbir sayının karesi pozitif değildir."
VOLT: Değil için tek bir aykırı sayı yeter: "Karesi pozitif olmayan bir sayı vardır." 02 = 0 böyle bir sayı.
Volt işlem özelliklerini önerme olarak yazıyor.
ECE: a·b = 0 ise a = 0 ve b = 0 olmalı.
VOLT: Biri sıfır olsa yeter: 0·7 = 0. Doğrusu a·b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0; "veya" en az biri demek.
Bence "Bir sayı 4'e bölünüyorsa çifttir" ile "Bir sayı çiftse 4'e bölünür" aynı şeyi söyler.
Ama bu yanlış.
ikinci önerme birincinin karşıtıdır; karşıt, önermeyle aynı şey değildir. Birincisi doğru: 4'e bölünen her sayı çifttir. Karşıtı yanlış: 6 çift ama 4'e bölünmez. Küme diliyle: 4'ün katları çift sayıların içinde; tersi değil.
Önerme: doğru (D) ya da yanlış (Y) olan hüküm. p′: p'nin değili; doğruluk değerini ters çevirir.
p ⇒ q yalnız p D, q Y iken Y. p ∨ q en az biri D iken D.
Kelimelerle: "p ise q" yalnızca p doğru ve q yanlışken yanlıştır. "p veya q" en az biri doğruysa doğrudur.Harfler: p, q: önerme · ∧: ve · ∨: veya · ⊻: ya da · ⇒: ise · ⇔: ancak ve ancak.
Bağlaçlar: p ∧ q (ve): ikisi de D iken D. p ⊻ q (ya da): yalnız biri D iken D. p ⇔ q (ancak ve ancak): ikisi aynı değerdeyken D.
Karşıt: p ⇒ q'nun karşıtı q ⇒ p'dir; aynı şey değildir. "p ⇒ q" doğruysa p'yi sağlayan sayılar, q'yu sağlayan sayıların içindedir.
Niceleyiciler: ∀ (her), ∃ (bazı, en az bir). "∀x için p(x)" önermesinin değili "∃x için p′(x)"; "∃x için p(x)" önermesinin değili "∀x için p′(x)".
Çarpım sıfır: a·b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0. Değili: a·b ≠ 0 ⇔ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0.
Kapat ve kendi kelimelerinle yaz: bu kutuyu görmeden kuralı ve harflerin anlamını bir kâğıda yaz, sonra karşılaştır.
Çapa: "Her tam sayının karesi 0'dan büyüktür." Yanlış; karşı örnek 0: 02 = 0.
Varyant 1: yalnızca "her" yerine "bazı" yazıldı: "Bazı tam sayıların karesi 0'dan büyüktür." Doğruluk değeri değişir mi?
Değişir, doğru olur: 22 = 4 ve 4 > 0. "Bazı" için tek örnek yeter.
Varyant 2: yalnızca "büyüktür" yerine "büyük ya da eşittir" yazıldı; "her" kaldı. Doğruluk değeri değişir mi?
Değişir, doğru olur: her tam sayının karesi 0 ya da pozitiftir. 02 = 0 artık karşı örnek değil.
Varyant 3: yalnızca önermenin değili alındı: "Karesi 0'dan büyük olmayan bir tam sayı vardır." Doğruluk değeri değişir mi?
Değişir, doğru olur: 0 böyle bir tam sayı. Bir önerme yanlışsa değili doğrudur.
Karşı-örnek: "Her"in değili "hiçbiri" değildir. "Her tam sayı çifttir" önermesinin değili "Hiçbir tam sayı çift değildir" olmaz; doğrusu "Çift olmayan bir tam sayı vardır".
Derine in (isteğe bağlı): karşıt ters (kontrapozitif)
Programda yok; merak edersen. p ⇒ q önermesinin karşıt tersi q′ ⇒ p′ önermesidir: "q değilse p de değil". Karşıttan farklı olarak karşıt ters, önermeyle her zaman aynı doğruluk değerini taşır.
Örnek: "a > 3 ise a2 > 9" doğru; karşıt tersi "a2 ≤ 9 ise a ≤ 3" de doğru. Karşıtı "a2 > 9 ise a > 3" ise yanlış (a = −4).
Verilen temsil sembolik: aşağıdaki önerme. Ötekini üret: (1) önermeyi sözel yaz; (2) ℝ yerine ℤ yazılsa önerme doğru mu kalır? (3) önermenin değilini sembolle yaz.
Cevabı göster
Üç temsil yan yana. Sözel: "Sıfırdan farklı her gerçek sayının, onunla çarpılınca 1 veren bir eşi vardır" (çarpmaya göre ters eleman). ℤ'de: a = 2 için 2·b = 1 ⇒ b = 1/2, ama 1/2 ∉ ℤ; önerme ℤ'de yanlış, tek karşı örnek yeter. Değili: ∃a ∈ ℝ, a ≠ 0, öyle ki her b ∈ ℝ için a·b ≠ 1. Bu değil yanlıştır, çünkü önerme ℝ'de doğrudur.
Sembol neye karşılık? ∀ ↔ "her" ↔ bütün sayıları kontrol etmek. ∃ ↔ "vardır" ↔ tek bir uygun sayı bulmak.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: sembolik önermedeki "∃b" ile sözel önermedeki "bir eşi vardır".
Önerme: "Her gerçek sayı a için a > 3 ise a2 > 9." Ece önermeyi ve karşıtını inceliyor. Hangi adımda yanlış yaptı?
a > 3 ise a pozitif ve a·a > 3·3 = 9: önerme doğru.
Karşıtı: "a2 > 9 ise a > 3."
Bir önerme doğruysa karşıtı da doğrudur; karşıt da doğru.
Örnek: a = 4 için 16 > 9 ve 4 > 3; tutuyor.
Sonuç: iki önerme de doğru.
Hata 3. adımda (önerme ve karşıtı). Önerme ile karşıtı aynı şey değildir; karşıtın doğruluğuna ayrıca bakılır. Karşı örnek: a = −4 için (−4)2 = 16 > 9, ama −4 > 3 değil. Karşıt yanlış. 4. adımdaki örnek doğru ama tek örnek karşıtı ispatlamaz; 5. adım 3. adımdaki hatayı taşıdı.
Kendine sor: a·b = 0 olduğu biliniyor. Hangisi kesin doğrudur: "a = 0 ∧ b = 0" mı, "a = 0 ∨ b = 0" mı? Cevap
"a = 0 ∨ b = 0". 0·5 = 0'da yalnız a sıfır; "ve" yazmak yanlış olur.
Özdeşlikler ve çarpanlara ayırma
MAT.9.1.4 (b–c) · Gerçek Sayıların İşlem Özelliklerini Cebirsel Olarak İfade Etme
Bu bölümde: (a + b)2, (a − b)2 ve a2 − b2 özdeşliklerini alan modeliyle görmeyi, özdeşlik ile denklemi ayırmayı, ortak çarpan ve özdeşlikle çarpanlara ayırmayı ve bunları hesap kısa yolu olarak kullanmayı öğreneceksin.≈ 14 dk · YKS: kapsam ÖSYM duyurusuyla netleşecek
özdeşlik — her değer için doğru eşitlik · bu değildir: bazı değerler için doğru denklem: x + 2 = 5
denklem — yalnız bazı değerlerde doğru eşitlik · bu değildir: her x için doğru eşitlik
çarpanlara ayırma — ifadeyi çarpım olarak yazmak · bu değildir: parantezi açmak
ortak çarpan — her terimde bulunan çarpan · bu değildir: terimlerin toplamı
30 saniye
(x + 3)2 ifadesi x2 + 9'a eşit midir?
Ne kadar eminsin?
Hayır: (1 + 3)2 = 16, 1 + 9 = 10. İki ifade yalnız x = 0'da eşit. Eksik parça 6x; ilk sahnede alan modelinde göreceksin.
Tahta. Volt kenarı a + b olan bir kareyi dört parçaya bölüyor.
ECE: (a + b)2 = a2 + b2; her terimin karesini alırım.
VOLT: Karenin içine bak: a2 ve b2 dışında iki tane a·b dikdörtgeni var. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2: x2 − 2·x·4 + 16 = x2 − 8x + 16. Kontrol: x = 5 için (5 − 4)2 = 1 ve 25 − 40 + 16 = 1.
Volt bir kareden köşe kesip parçaları yeniden diziyor.
ECE: a2 − b2'yi çarpanlarına ayıramam; arada eksi var.
VOLT: Kareden köşeyi kes, kalan şeridi yana taşı. Kenarları a + b ve a − b olan bir dikdörtgen çıkar.
Volt iki eşitliği farklı x değerlerinde deniyor.
ECE: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) de bir denklem; x'i bulurum.
VOLT: Bu eşitlik her x için doğru; bulunacak özel bir x yok. Böyle eşitliğe özdeşlik denir; x2 = 9 ise yalnız 3 ve −3'te doğru.
Hangisi bir özdeşliktir?
2(x + 3) = 2x + 6 dağılma özelliğidir; her x için doğru. 2x + 1 = 7 yalnız x = 3'te, x2 = 4x yalnız x = 0 ve x = 4'te doğru: bunlar denklem.
Volt özdeşlikleri sayılarla hesap yapmak için kullanıyor.
ECE: 51·49'u kâğıtta uzun uzun çarparım.
VOLT: Kısa yol var: 51·49 = (50 + 1)(50 − 1) = 502 − 1 = 2499. Özdeşlik, hesabı kolaylaştırır.
Volt ifadeleri çarpanlarına ayırıyor.
ECE: 6x2 + 9x'te ortak bir şey yok.
VOLT: İki terimde de 3 ve x var: 6x2 + 9x = 3x(2x + 3). Parantezi açınca geri gelir; kontrol böyle yapılır.
Bence (a + b)2 = a2 + b2; üs parantezin içine dağılır.
Ama bu yanlış.
üs çarpmaya dağılır, toplamaya dağılmaz: (a·b)2 = a2·b2 ama (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2. a = 3, b = 2 ile: (3 + 2)2 = 25, oysa 9 + 4 = 13. Eksik parça alan modelindeki iki a·b dikdörtgeni: 2·6 = 12.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Kelimelerle: iki terimin toplamının karesi: birincinin karesi, iki katı çarpım, ikincinin karesi. Kareler farkı, fark ile toplamın çarpımıdır.Harfler: a, b: herhangi iki gerçek sayı ya da ifade (x, 2x, √5 …).
Özdeşlik ile denklem: özdeşlik her değerde doğrudur: 2(x + 3) = 2x + 6. Denklem yalnız bazı değerlerde doğrudur: 2x + 1 = 7 yalnız x = 3'te.
Çarpanlara ayırma: ortak çarpan: ab + ac = a(b + c), dağılma özelliğinin tersi. Gruplama: ab + 2a + 3b + 6 = (a + 3)(b + 2). Özdeşlikle: x2 − 9 = (x − 3)(x + 3). Kontrol: parantezi aç, aynı ifade gelmeli.
Karşı-örnek: Kalıp yalnızca kare için: (1 + 2)3 = 27, ama 13 + 2·1·2 + 23 = 13. Üçüncü kuvvette kareninkine "benzeyen" bir yazım işe yaramaz.
Alan modeli
Önce tahmin: a = 5, b = 2 iken (a + b)2 ile a2 + b2 arasındaki fark kaç birim karedir? Kendine söyle, sonra dene.
Düğmeler özdeşliği seçer, kaydırıcılar a ile b'yi. Parçaların alanları şeklin içinde yazar. a2 − b2 için "Kes ve taşı" düğmesine adım adım bas.
Verilen temsil alan modeli: aşağıdaki kare dört parçaya bölünmüş. Ötekini üret: (1) toplam alanı tek bir ifade olarak yaz; (2) ifadeyi çarpanlarına ayır; (3) x = 3 için alanı iki yoldan hesapla.
Cevabı göster
Üç temsil yan yana. Toplam: x2 + 5x + 5x + 25 = x2 + 10x + 25. Çarpanlar: karenin kenarı x + 5, yani (x + 5)2. x = 3 için: 9 + 30 + 25 = 64 ve (3 + 5)2 = 64.
Sayı neye karşılık? Orta terim 10x ↔ iki turuncu dikdörtgen (5x + 5x) ↔ özdeşlikteki 2ab. 25 ↔ yeşil kare ↔ b2.
İki temsilde aynı şeyi gösteren yer: kenardaki "x" ile "5" yan yana: x + 5; ifadede parantezin içi.
(2x − 3)2 ifadesini aç. Ece'nin çözümü aşağıda. Hangi adımda yanlış yaptı?
Kalıp: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2.
a = 2x ve b = 3.
a2 = (2x)2 = 2x2.
2ab = 2·2x·3 = 12x ve b2 = 9.
Sonuç: 2x2 − 12x + 9.
Hata 3. adımda (özdeşlik). Üs çarpıma dağılır: (2x)2 = 22·x2 = 4x2. Doğrusu 4x2 − 12x + 9. Kontrol: x = 1 için (2 − 3)2 = 1 ve 4 − 12 + 9 = 1. Ece'nin sonucu x = 1'de 2 − 12 + 9 = −1 verir; bir karenin sonucu negatif olamaz. 5. adım 3. adımdaki hatayı taşıdı.
Kendi kendini puanla · kâğıtta çöz. İspatla: (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab. Sonra bu özdeşlikle 512 − 492'yi hesapla ve doğrudan hesapla kontrol et. Yazdıktan sonra aç.
Tam puan çözüm şuna benzer
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ve (a − b)2 = a2 − 2ab + b2.
Çıkar: (a2 + 2ab + b2) − (a2 − 2ab + b2) = 2ab + 2ab = 4ab. Her a, b için doğru; özdeşlik.
82/3'ü 8·2/3 = 16/3 sanmak: kesirli üs bir kök ve bir kuvvettir, ∛(82) = 4.
SORU 2 ALIŞTIR
Avogadro sayısı yaklaşık 6,02·1023'tür: 1 moldeki tanecik sayısı (SI tanımındaki 6,02214076·1023 değerinden yuvarlanmış). 3,5 moldeki tanecik sayısını bilimsel gösterimle yazınız.
a·10n, 1 ≤ a < 10
Verilenleri yaz: 1 molde 6,02·1023 tanecik; madde miktarı 3,5 mol.
Ne isteniyor? 3,5 moldeki tanecik sayısı, bilimsel gösterimle.
Önce baştaki sayıları çarp, 10'un kuvvetini aynen taşı; sonra baştaki sayıyı 1 ile 10 arasına getirip üssü düzelt.
Temsil seç: bilimsel gösterim; çünkü sayı 25 basamaklı.
Yaklaşık değerlerle: ilk ifade (2,45 + 1,41) : (2,45 − 1,41) = 3,86 : 1,04 ≈ 3,71; sonuç 2 + 1,73 = 3,73. 3,73 − 3,71 = 0,02: fark yuvarlamadan geliyor.
Paydayı (√6 − √2)(√6 + √2) = 6 + 2 = 8 diye hesaplamak: eşlenik çarpımı a − b'dir.
SORU 5 UYGULA
Evrensel küme ℝ. A = [−3, 4) ve B = (1, 7] veriliyor. A ∩ B, A ∪ B, A \ B ve B' kümelerini aralıkla yazınız. A ∩ B'de kaç tam sayı vardır?
A ∩ B: ikisinde de · A ∪ B: en az birinde · A \ B: A'da olup B'de olmayan · B': B'de olmayan
Verilenleri yaz: A: −3 ≤ x < 4; B: 1 < x ≤ 7; evrensel küme ℝ.
Ne isteniyor? Dört küme ve A ∩ B'deki tam sayıların sayısı.
İki aralığı aynı sayı doğrusuna alt alta çiz; her işlem için "hangi sayılar?" sorusunu sor, uçları tek tek kontrol et.
Temsil seç: sayı doğrusu; çünkü uçların dahil olup olmadığı dairelerde görünür.
A ∩ B: ikisinde de olanlar: 1 < x < 4, yani (1, 4). 1 B'de yok, 4 A'da yok.
Kesişimde bir uç, ancak iki kümede de varsa dahildir; 4 A'da yok, 1 B'de yok.
A ∪ B: en az birinde olanlar: −3 ≤ x ≤ 7, yani [−3, 7].
A \ B: A'da olup B'de olmayanlar: −3 ≤ x ≤ 1, yani [−3, 1]. 1, A'da var, B'de yok.
B': B'de olmayanlar: x ≤ 1 veya x > 7, yani (−∞, 1] ∪ (7, ∞).
Tümleme evrensel küme ℝ'ye göre alınır; B'nin uçları tersine döner: 1 dahil olur, 7 çıkar.
Tam sayılar: (1, 4) içinde 2 ve 3; yani 2 tane.
A ∩ B = (1, 4) · A ∪ B = [−3, 7] · A \ B = [−3, 1] · B' = (−∞, 1] ∪ (7, ∞) · 2 tam sayı
Uç kontrolü: 1 sayısı A'da var, B'de yok; o hâlde A \ B'de ve B''de var. 4 sayısı A'da yok, B'de var; A ∪ B'de var, A ∩ B'de yok. Hepsi yazılanla uyumlu.
A \ B'yi [−3, 1) yazmak: 1, B'nin elemanı değil (yuvarlak parantez); bu yüzden A \ B'de kalır.
SORU 6 UYGULA
Kare biçimli 1 dönümlük bir arsanın çevresi çitle çevrilecek (1 dönüm = 1000 m2). Çitin metresi 150 TL'dir (kurgusal fiyat); √10 ≈ 3,16 alınız. (a) Arsanın bir kenarını ve çevresini köklü gösterimle yazınız. (b) Çit uzunluğunu ve maliyeti yaklaşık hesaplayınız. (c) Çit yalnızca tam metre satılıyorsa kaç metre alınmalıdır?
kare: alan = kenar2 · √(k2·a) = k√a · yaklaşık değer
Yaklaşık: 40·3,16 = 126,4 m; maliyet 126,4·150 = 18.960 TL.
Tam metre: 126,4 m'den kısa çit yetmez; yukarı yuvarla: 127 m. Maliyet 127·150 = 19.050 TL.
(a) kenar 10√10 m, çevre 40√10 m · (b) ≈ 126,4 m, ≈ 18.960 TL · (c) 127 m (19.050 TL)
Tahminle kontrol: 312 = 961 ve 322 = 1024; kenar 31 ile 32 m arasında, çevre 124 ile 128 m arasında. 126,4 m uygun. Birim: m·(TL/m) = TL.
126,4'ü aşağı yuvarlayıp 126 m almak: çitin 0,4 m'si eksik kalır. Malzeme hesabında yukarı yuvarlanır.
SORU 7 DERİNLEŞ · istersen atla
a ve b rasyonel sayılar ve a < b olsun. (a) a ile b arasında en az iki farklı rasyonel sayı bulunduğunu gösteriniz. (b) 1/3 ile 1/2 arasında iki rasyonel sayı yazınız.
iki rasyonelin ortalaması: m = (a + b)/2, a < m < b
Verilenleri yaz: a, b ∈ ℚ ve a < b; örnekte a = 1/3, b = 1/2.
Ne isteniyor? (a) genel gösterim; (b) iki örnek sayı.
Ortalama iki sayının tam ortasındadır ve rasyonel kalır; bu adımı iki kez uygula.
Temsil seç: cebir (genel gösterim) ve sayı doğrusu; çünkü sayıların sırası görülmeli.
Birinci sayı: m = (a + b)/2. İki rasyonelin toplamı rasyoneldir, 2'ye bölmek de rasyonel verir. 2a < a + b < 2b olduğu için a < m < b.
Kapalılık: ℚ toplamaya ve sıfırdan farklı sayıya bölmeye göre kapalı.
İkinci sayı: a ile m de iki rasyonel ve a < m; aynı yolla n = (a + m)/2 rasyoneldir ve a < n < m < b.
Aynı gerekçe a ile m için de geçerli; işlem istediğin kadar tekrarlanır.
Ortalama: (1/3 + 1/2)/2 = 5/12, sonra (1/3 + 5/12)/2 = 3/8. Her iki rasyonelde çalışır ve genel gösterimi verir.
Kısa ama koşullu yol
Paydaları genişlet: 1/3 = 8/24 ve 1/2 = 12/24; arada payı 9, 10, 11 olan kesirler hazır duruyor: 9/24, 10/24, 11/24.
Hangisi ne zaman? Genel gösterim (ispat) istenirse ortalama yolu gerekir; yalnız örnek sayı isteniyorsa payda genişletmek hızlıdır. Kısa yol başka bir şeyi de gösterir: payda büyüdükçe arada daha çok kesir çıkar.
Paydalar 3 ve 2 ardışık diye "1/3 ile 1/2 arasında kesir yok" demek: ortalama her zaman arada bir kesir verir.
SORU 8 DERİNLEŞ · istersen atla
a = √5 + 2 ve b = √5 − 2 olsun. (a) a·b'yi bulunuz. (b) a2 + b2'yi özdeşlik kullanarak bulunuz. (c) 1/a = b olduğunu gösteriniz.
a2 − b2 = (a − b)(a + b) · a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
Verilenleri yaz: a = √5 + 2, b = √5 − 2.
Ne isteniyor? (a) a·b; (b) a2 + b2; (c) 1/a ile b'nin eşitliği.
Kareler farkı çarpımı verir; toplamın karesinden 2ab çıkarınca kareler toplamı gelir. Çarpımı 1 olan iki sayıdan biri ötekinin tersidir.
Temsil seç: özdeşlik ve köklü gösterim; çünkü a ile b eşlenik.
a·b: kareler farkı: (√5 + 2)(√5 − 2) = 5 − 4 = 1.
a + b: 2√5, yani (a + b)2 = 4·5 = 20.
buradan sonrasını sen çöz
a2 + b2: (a + b)2 − 2ab = 20 − 2·1 = 18.
1/a: a·b = 1 olduğu için iki tarafı a'ya böl: b = 1/a.
(a) a·b = 1 · (b) a2 + b2 = 18 · (c) b = 1/a
Doğrudan hesapla kontrol: a2 = 5 + 4√5 + 4 = 9 + 4√5 ve b2 = 9 − 4√5; toplam 18, kökler sadeleşti. Rasyonel çıkması eşlenikten beklenir.
a2 + b2 yerine (a + b)2 = 20 yazmak: arada 2ab = 2 kadar fark var.
SINAV KÖŞESİ
Evrensel küme ℝ. A = [−2, 3) ve B = (0, 5] aralıkları veriliyor. Buna göre I. A ∩ B = (0, 3) II. A ∪ B = [−2, 5] III. A \ B = [−2, 0) yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III
Soruyu sökme: dört adım
Ne veriliyor? İki aralık: A'da −2 dahil, 3 hariç; B'de 0 hariç, 5 dahil.
Ne isteniyor? Üç yargıdan doğru olanlar; şıklar öncül birleşimi.
Hangi kavram / şekil? Kesişim, birleşim, fark; iki aralığı aynı sayı doğrusuna çiz.
Birim kontrolü / okuma tuzağı: parantez türü. Her uç sayısı için "A'da mı, B'de mi?" diye ayrı bak; yargıdaki aralık yalnız bir parantezle yanlış olabilir.
Her yargı için sonucu kendin bul, sonra uçlarını yargıyla karşılaştır. Temsil: sayı doğrusu ve uç tablosu.
I: ikisinde de olanlar 0 < x < 3; 0 B'de yok, 3 A'da yok: (0, 3). Doğru.
II: en az birinde olanlar −2 ≤ x ≤ 5; −2 A'da, 5 B'de: [−2, 5]. Doğru.
III: A'da olup B'de olmayanlar −2 ≤ x ≤ 0. 0, A'da var, B'de yok; A \ B = [−2, 0]. Yargıda 0 dışarıda bırakılmış. Yanlış.
C) I ve II
Tek sayıyla kontrol: x = 0 için A'da mı? −2 ≤ 0 < 3, evet. B'de mi? 0 < 0 değil, hayır. O hâlde 0 ∈ A \ B; III'teki [−2, 0) yazımı 0'ı kaçırıyor.
E'yi seçtiysen 0'ın B'nin ucu olduğu için A \ B'den de çıkacağını düşündün; ama B'de 0 yuvarlak parantezli, yani B'de yok. B'yi seçtiysen I ve II'yi hesaplamadan eledin.
SINAV KÖŞESİ · a→b→c
NASA gezegen bilgi tablosuna göre bazı gezegenlerin Güneş'e ortalama uzaklıkları aşağıdadır (1 milyon = 106).
Gezegen
Güneş'e ortalama uzaklık
Merkür
57,9 milyon km
Dünya
149,6 milyon km
Jüpiter
778,5 milyon km
(a) Dünya'nın Güneş'e uzaklığını km cinsinden bilimsel gösterimle yazınız. (b) Jüpiter'in uzaklığı Dünya'nınkinin yaklaşık kaç katıdır? (c) Ece: "Merkür 5,79·107 km, Jüpiter 7,785·108 km uzakta. Üsler arasında 1 fark var; demek ki Jüpiter tam 10 kat uzakta." Ece haklı mı? Oran yaklaşık kaçtır?
Soruyu sökme: dört adım
Ne veriliyor? Üç uzaklık, milyon km cinsinden; 1 milyon = 106.
Ne isteniyor? (a) yazım; (b) tek adımlık oran; (c) bir iddiayı sınama.
Hangi kavram / şekil? Bilimsel gösterim a·10n; oranı alırken baştaki sayılar da bölünür, üsler çıkarılır.
Birim kontrolü / okuma tuzağı: tablo "milyon km" diyor; km'ye çevirirken 106 ile çarp.
Önce milyonu 106 olarak yaz ve baştaki sayıyı 1 ile 10 arasına getir. Oranda baştaki sayıları böl, üsleri çıkar. Temsil: tablo → bilimsel gösterim → oran.
(a) Doğrudan okuma: 149,6 milyon km = 149,6·106 km = 1,496·108 km.
(b) Tek adım hesap: 778,5 : 149,6 ≈ 5,2; Jüpiter yaklaşık 5,2 kat uzakta.
(c) Çıkarım: oran = (7,785 : 5,79)·108 − 7 ≈ 1,34·10 = 13,4. Ece haksız: üs farkı yalnızca 101 çarpanını verir; baştaki sayıların oranı 1,34 da oranı etkiler.
(a) 1,496·108 km · (b) yaklaşık 5,2 kat · (c) Ece haksız; oran yaklaşık 13,4
(c) için çarparak kontrol: 13,4·57,9 ≈ 776; tablodaki 778,5'e yakın. 10·57,9 = 579 ise 778,5'ten çok küçük; "10 kat" az kalıyor.
(a)'da 149,6·106'da bırakan, baştaki sayıyı 1 ile 10 arasına getirmemiş. (c)'de Ece'ye katılan, yalnız üslere bakıp baştaki sayıları unutmuş.